$X$ Es un espacio vectorial completo $\iff$ $\Big[\quad\sum_{n=1}^\infty \| x_n \| \implies \sum_{n=1}^\infty x_n$ converge $\quad\Big]$

Question

<blockquote> <p>$X$ Es un espacio vectorial completo $\iff$ $\Big[\quad\sum_{n=1}^\infty \| x_n \| \implies \sum_{n=1}^\infty x_n$ $\quad\Big]$ de converge.</p> </blockquote> <p>He visto una prueba de ello ya en una conferencia pero me preguntaba si hay una prueba publicada de este teorema en cualquier libro de análisis real? Esto fue probado en el contexto de los espacios de $L^p$ como un preliminar para mostrar $L^1$ es un espacio completo.</p>

Answer 1

Sugerencia: Por el Criterio de Cauchy $\sum a_n$ es convergente si y sólo si, cada $\epsilon > 0$ allí existe $n0 \in \mathbb N$ tal que % $ $$\bigg|\sum{k=n+1}^{n+p} a _k\bigg|

Cuando $n > n_0$ y $p \in \mathbb N$.

Con lo anterior y

$$|s_{m+p} - sm| = \bigg|\sum{k=n+1}^{n+p} a k\bigg| \leq \sum{k=n+1}^{n+p}|a_k|

Esto puede ser de ayuda para mostrar $ (\implies)$.

Answer 2

No estoy seguro de si se puede encontrar una prueba de este resultado en el Análisis Real del libro, pero se puede encontrar en libros básicos en el Análisis Funcional como "el Principio del Análisis Funcional" por "K. Saxe" y en la mayoría de los Análisis Funcionales de los libros es un ejercicio. Sin embargo, aquí es una prueba de que usted ya haya visto.

Deje $\sum_{k = 1}^{\infty}x_k$ ser una serie en la $X$. En primer lugar vamos a suponer que $X$ es un espacio de Banach y $\sum_{k = 1}^{\infty}\|x_k\|$ converge. Tenemos que mostrar que $\sum_{k = 1}^{\infty}x_k$ es convergente. Deje $(s_n)$ ser la secuencia de sumas parciales. A continuación, $(s_n)$ es una secuencia de Cauchy desde \begin{equation} \|s_{n+m} - s_n\| = \biggl{\|}\sum_{k = n+1}^{n+m}x_k\biggr{\|} \leq \sum_{k = n+1}^{n+m}\|x_k\|. \end{equation} Por lo tanto, $\sum_{k = 1}^{\infty}x_k$ es convergente como $X$ es un espacio de Banach.

Por el contrario, supongamos que la convergencia absoluta implica la convergencia. Deje $(z_n)$ ser una secuencia de Cauchy en $X$. Entonces existe una larga $(z_{n_k})$ $(z_n)$ tal que \begin{align*} \|z_{n_{k+1}} - z_{n_k}\| < \dfrac{1}{2^k} & & (k \geq 1). \end{align*} Deje $x_k = z_{n_{k+1}} - z_{n_k}, k \geq 1$. A continuación, $\sum_{k = 1}^{\infty}\|x_k\|$ es convergente. Por lo tanto, por hipótesis se deduce que $\sum_{k = 1}^{\infty}x_k$ es convergente, es decir, $(z_{n_{k}})$ es convergente. Ya, $(z_n)$ es una secuencia de Cauchy que ha convergente larga, se deduce que el $(z_n)$ es convergente.