¿Por qué no $[0;\pi]$ rango de $\arcsin$?
Debido a que en este rango de $\sin$ no es inyectiva. Esto significa que no existe$a,b\in[0;\pi],\;a\ne b$,$\sin(a)=\sin(b)$. Esto es muy incómodo porque $\arcsin$ sería de varios valores. Para un argumento existiendo dos valores. Es por eso que tales gama seleccionada $\sin$ es inyectiva y por lo tanto $\arcsin$ es una función.
La función $\sin(x)$ es periódica. Esto significa que para cada valor de $y$ existen infinidad de argumentos $x$ satisfacción $y=\sin(x)$. Entonces, su inverso $\arcsin$ es de varios valores. Para cada argumento que se tarda una infinidad de valores. Es por eso que generalmente "split" en las ramas, de modo que cada rama es una función. Generalmente se realiza en los puntos donde la tangente es vertical. A continuación, definimos tales ramas como $$...,\;\arcsin_{-1}(x),\;\arcsin_0(x),\;\arcsin_1(x),...$$
La rama de $\arcsin_0(x)$ es la principal, equivalente a $\arcsin(x)$.
Lo mismo que arriba se con $\cos$.
Similar cosa es con $\tan$. No es inyectiva, por lo que tener tal dominio (este dominio seleccionado de $\tan$ es el rango de $\arctan$ $\tan$ es inyectiva. Es $$...,\;[-3\pi/2;-\pi/2],\;[-\pi/2;\pi/2],\;[\pi/2,3\pi/2],\;...$$
En realidad podemos tomar dominios tales como la $[0;\pi]$, pero luego, $\arctan$ no sería continuo.
¿Por qué el dominio de que es la más cercana a $0$ es seleccionado? Porque es conveniente.
