La localización en un primer ideal de un anillo reducido

Question

Aquí está la pregunta que se me ocurrió, que estoy teniendo problemas para demostrar o refutar:

Deje $A$ ser un anillo (conmutativo). Deje $p \in Spec(A)$ tal que $A_p$ es reducido. Entonces existe un abierto barrio de $U \subset Spec(A)$ contiene $p$ tal que $\forall q \in U$, $A_q$ se reduce.

Aquí hay algunos antecedentes a mi pregunta:

Yo soy básicamente tratando de demostrar que si los tallos en todos los puntos cercanos de un quasicompact esquema de reducción de anillos, entonces el esquema es reducido.

Desde el cierre de cada punto de quasicompact esquema contiene un punto de cierre de dicho régimen, demostrando el por encima de álgebra conmutativa de la declaración (si es cierto) rendirán una prueba de esta afirmación acerca de reducedness de quasicompact esquemas.

Si la frase en negrita es cierto, entonces supongo que el vecindario $Spec(A)-V(A-p)$ debería ser suficiente (esto es sólo una suposición), pero yo estoy con algunos problemas tratando de usar este barrio para mostrar que la localización de cada punto de $Spec(A)-V(A-p)$ me da una reducción del anillo. Así que podría haber algún otro barrio de $p$ que me falta, o la declaración en negrita no es cierto. De cualquier manera, un poco de ayuda sería apreciada (si la frase en negrita es cierto, agradecería sugerencias y no respuestas completas).

Answer 1

La ecuación básica es la de no completamente trivial igualdad (¿quieres una prueba?) $$(NilA)_{\mathfrak p}=Nil(A_{\mathfrak p})$$
Si Nil(A) es un finitely generado ideal de $A$ (automática para noetherian $A$), se deduce que $$Supp (NilA)=V(Ann (Nil A))$$
es cerrado, según se requiera.

Answer 2

Si las localizaciones de la $A$ a todos los de su máxima ideales son reducidos, a continuación, el destructor de cualquier nilpotent elemento de $A$ no figura en ningún máxima ideal, y por tanto contiene $1$.