Distribución exponencial doble

Question

Dejemos que $\zeta$ y $\eta$ sea una variable aleatoria independiente con $\exp(\lambda)$ distribución. ¿Cuál es la distribución de $Z=|\zeta-\eta|$ . Estoy tratando de calcularlo encontrando $\Pr(\zeta-\eta>x)$ y $\Pr(\eta-\zeta>x)$ . Gracias de antemano

Answer 1

Desde $|\zeta-\eta|\ge0$ casi con seguridad, las probabilidades $\Pr(|\zeta-\eta|> x)$ para cada no negativo $x$ determinar completamente la distribución de $|\zeta-\eta|$ . Ahora, dejemos que $x$ ser no negativo. El evento $[|\zeta-\eta|>x]$ es la unión disjunta de los eventos $[\zeta-\eta> x]$ y $[\eta-\zeta> x]$ . Por simetría, estos dos sucesos tienen la misma probabilidad, así que calculemos la probabilidad del primero.

Por cada $y$ , $\Pr(\zeta>y)=\mathrm e^{-\lambda y}$ por lo que, por independencia de $\eta$ y $\zeta$ , $$\Pr(\zeta-\eta>x\mid\eta)=\mathrm e^{-\lambda (x+\eta)}.$$ Integrando esto con respecto a la distribución de $\eta$ produce $$\Pr(\zeta-\eta>x)=\mathrm e^{-\lambda x}\,\mathrm E(\mathrm e^{-\lambda \eta})=\mathrm e^{-\lambda x}\int\limits_0^{+\infty}\mathrm e^{-\lambda t}\lambda \mathrm e^{-\lambda t}\text{d}t=\frac12\mathrm e^{-\lambda x}.$$ Resumiendo las contribuciones de $[\zeta-\eta> x]$ y $[\eta-\zeta> x]$ se obtiene $\Pr(|\zeta-\eta|>x)=\mathrm e^{-\lambda x}$ para cada no negativo $x$ Por lo tanto $|\zeta-\eta|$ es exponencial con parámetro $\lambda$ .

Editar Combinando el segundo y el tercer punto aquí se obtiene el resultado anterior.