¿Para qué valores de$a$ convergerá la siguiente secuencia?

Question

$a \in \mathbb R$ tiene la expansión decimal$a = a_0.a_1a_2a_3 \ldots a_n \ldots$

Encuentre todos los valores para$a$ para los cuales la secuencia$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ converge.

Primero descarto las irracionales, porque si no pueden representarse con un numerador y un denominador enteros, no pueden tener expansiones decimales convergentes. Pero, ¿cómo separe los racionales, por ejemplo, diferencie entre decir$1/7$ y$1/3$?

Answer 1

Sugerencia: esta es una secuencia de números enteros , en su mayoría entre$0$ y$9$. No debería ser difícil mostrar que converge si es eventualmente constante.

¿Qué números reales tienen una expansión decimal constante? Tal vez trate eventualmente$0$ y eventualmente$9$ por separado (no es necesario), y tenga en cuenta que$\dfrac{1}{9}=0.1111111\dots$.

Answer 2

Una secuencia de dígitos que converge si y sólo si es que finalmente constante. Si $a\in\Bbb R$, la secuencia de dígitos en la expansión decimal de $a$ finalmente es constante si y sólo si hay algún $n\in\Bbb N$ de manera tal que la parte fraccionaria de $10^na$ $0$ o $0.ddd\dots$ algunos $d\in\{1,\dots,9\}$. Desde $0.ddd\dots=\frac{d}9$, usted está buscando para los números reales $a$ tal que $10^na=\pm\left(m+\frac{d}9\right)$ algunos $m,n\in\Bbb N$$d\in\{0,1,\dots,8\}$. (El caso de $d=9$ es cubierto por el caso de $d=0$.) Desde allí, usted debe ser capaz de trabajar una buena descripción de estos números reales sin demasiados problemas.