¿La serie de Taylor es comparable a la serie de Fourier y armónicos esféricos?

Question

Actualmente estoy tratando de captar armónicos esféricos y tratar de digerir que hemos demostrado que el seno y coseno son funciones de base para la $L^2$ espacio de la cuadrado-integrables funciones.

Así que hasta donde tengo entendido, las funciones que se pueden integrar con $$\int_0^1 \mathrm dx \, f^2(x)$$ are forming a vector space. Then all the $e_n = \cos(n \pi x)$ (and sine) form a basis for that space. So any (even, since I like to drop the sine terms) function $f$, puede ser representado como una combinación lineal de los vectores de la base como: $$f = \sum a_n e_n$$

Para obtener los coeficientes de $a_n$, tengo el proyecto de vector (i. e. la función), sobre la base de vectores (i. e. la condición sine) mediante el interior (dot) de los productos, así:

$$ a_n = \left\langle f(x), e_n \right\rangle_F = \int_0^1 \mathrm dx \, f(x) \cos(n \pi x)$$

Ahora me pregunto si la serie de Taylor es una representación ortogonal de funciones $e_n = x^n$. Es el "Taylor interior del producto" algo como esto entonces?

$$ a_n = \left\langle f(x), x^n \right\rangle_T = \frac{1}{n!} \left. \frac{\mathrm d^n f(x)}{\mathrm d x^n} \right|_{x = 0}$$

En el final, voy a tener una serie así :

$$ f = \sum a_n e_n =\sum\limits_{n} \frac{1}{n!} \left. \frac{\mathrm d^n f(x)}{\mathrm d x^n} \right|_{x = 0} x^n$$

Answer 1

No. En definitiva, la razón es porque la serie de Taylor es un local descripción de una función, mientras que la serie de Fourier y armónicos esféricos incorporar global de datos. Más precisamente, la serie de Taylor de una función suave en $0$ no cambia si se modifica la función arbitrariamente fuera de un barrio de $0$.

Usted es libre de introducir un producto interior en, por ejemplo, los polinomios dados por

$$\langle x^n, x^m \rangle = \delta_{nm}$$

que formalmente se reproduce la serie de Taylor de un polinomio, pero el argumento anterior sugiere que el interior de este producto no puede ser descrito a través de la integración en contra de una función de apoyo, lejos de la $0$, y, además, cualquier integrante de la forma

$$\langle x^n, x^m \rangle = \int_{\mathbb{R}} x^n x^m g(x) \, dx$$

tendría la propiedad de que la $\langle x^n, x^m \rangle = \langle 1, x^{n+m} \rangle$.

Sin embargo, en el caso especial de holomorphic funciones, series de Taylor puede estar relacionado con la serie de Fourier usando la integral de Cauchy fórmula. Intuitivamente esto es debido a que el comportamiento local de holomorphic funciones de determinar su comportamiento global.