Encontrar todos los pares $(a,b)\in \mathbb{R^2}$ tal que $af_n^2+bf_{n+1}^2 $ es miembro de la secuencia de Fibonacci para todos $n\in\mathbb{N}$.

Question

Pregunta : % Let ${f_n}$ser el % de la secuencia de Fibonacci ${1,1,2,3,...}$. Encontrar todos los pares $(a,b)\in \mathbb{R^2}$ tal que $afn^2+bf{n+1}^2 $ es un meber de la secuencia % todos $n\in\mathbb{N}$.

He utilizado $f_n=\frac {1}{\sqrt 5}[\phi^n-(-1)^n\phi^{-n}]$ $\phi=\frac {1+\sqrt 5}{2}$. Para reducir la expresión dada pero no conseguía alguna idea útil para proceder. Así que cualquier ayuda/sugerencia será apreciada. ¿Podemos encontrar tal $a,b$ lo que $afn^k+bf{n+1}^k$ $k>2$ en enteros positivos?

Gracias.

Answer 1

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$$f_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\phi^{n}-(-1)^{n}\phi^{-n}\right]$$

Entonces

$$f{n}^{2} =\frac{1}{5}\left[\phi^{2n}-2(-1)^{n}+\phi^{-2n}\right]$$ $$f{n+1}^{2} =\frac{1}{5}\left[\phi^{2(n+1)}-2(-1)^{n+1}+\phi^{-2(n+1)}\right]$$ $$af{n}^{2}+bf{n+1}^{2} =\frac{1}{5}\left[(a+b\phi^{2})\phi^{2n}-2(a-b)(-1)^{n}+(a+b\phi^{-2})\phi^{-2n}\right]$$

Este será un número de Fibonacci si $a=b$ (para cancelar el segundo término) y si

$$a+b\phi^{+2}=+\sqrt{5}\phi^{+k}$$ $$a+b\phi^{-2}=-(-1)^{2n+k}\sqrt{5}\phi^{-k}$$

donde k es un entero. Ajuste $b=a$ y multiplicando dan %#% $ #%

Esto tiene soluciones reales para $$a^2(1+\phi^{2})(1+\phi^{-2})=-5(-1)^{k}$ cuando $a$ es impar. Entonces $k$ $

Que lleva a $$a^2(1+\phi^{2})(1+\phi^{-2})=5$.