Demuestre que una función que es localmente creciente es creciente?

Question

Una función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es localmente creciente en un punto $x$ si hay un $\delta > 0$ tal que $f(s) < f(x) < f(t)$ siempre que $x-\delta < s < x < t < x+\delta$ .

Demuestre que una función que es localmente creciente en cada punto de $\mathbb{R}$ debe ser creciente, es decir, $f(x) < f(y)$ para todos $x < y$ .

Answer 1

SUGERENCIA: Supongamos que $f$ es localmente creciente en cada punto de $\Bbb R$ pero $f$ no es una función creciente; entonces hay $a,b\in\Bbb R$ tal que $f(a)\ge f(b)$ . Sea $B=\{x\in[a,b]:f(a)\ge f(x)\}$ ; $B\setminus\{a\}$ es no vacía, ya que $b\in B$ y está limitada por debajo por $a$ Así que $b$ tiene un límite inferior mayor $x_0\in[a,b]$ .

Demostrar que $x_0\in B$ y considerar dos casos:

1. $x_0=a$ . Utilice la hipótesis de que $f$ es localmente creciente en $a$ para obtener una contradicción.
2. $x_0>a$ . Entonces $f(x)>f(x_0)$ para cada $x\in(a,x_0)$ . Utilice el hecho de que $f$ es localmente creciente en (¿qué punto?) para obtener una contradicción.

Como alternativa, si está familiarizado con la definición de compacidad de la tapa abierta, puede dejar que $[a,b]$ sea un intervalo cerrado cualquiera y utilizar la hipótesis de que $f$ es localmente creciente en cada punto para obtener una cobertura $\mathscr{U}$ de $[a,b]$ por intervalos abiertos en cada uno de los cuales $f$ es creciente, entonces utiliza la compacidad de $[a,b]$ para obtener una subcubierta finita y demostrar directamente a partir de la existencia de esta subcubierta finita que $f$ debe aumentar en $[a,b]$ . Desde $a\le b$ son arbitrarios, esto demuestra que $f$ está aumentando.