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Demuestre que una función que es localmente creciente es creciente?

Una función f:RR es localmente creciente en un punto x si hay un δ>0 tal que f(s)<f(x)<f(t) siempre que xδ<s<x<t<x+δ .

Demuestre que una función que es localmente creciente en cada punto de R debe ser creciente, es decir, f(x)<f(y) para todos x<y .

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SUGERENCIA: Supongamos que f es localmente creciente en cada punto de R pero f no es una función creciente; entonces hay a,bR tal que f(a)f(b) . Sea B={x[a,b]:f(a)f(x)} ; B{a} es no vacía, ya que bB y está limitada por debajo por a Así que b tiene un límite inferior mayor x0[a,b] .

Demostrar que x0B y considerar dos casos:

  1. x0=a . Utilice la hipótesis de que f es localmente creciente en a para obtener una contradicción.
  2. x0>a . Entonces f(x)>f(x0) para cada x(a,x0) . Utilice el hecho de que f es localmente creciente en (¿qué punto?) para obtener una contradicción.

Como alternativa, si está familiarizado con la definición de compacidad de la tapa abierta, puede dejar que [a,b] sea un intervalo cerrado cualquiera y utilizar la hipótesis de que f es localmente creciente en cada punto para obtener una cobertura U de [a,b] por intervalos abiertos en cada uno de los cuales f es creciente, entonces utiliza la compacidad de [a,b] para obtener una subcubierta finita y demostrar directamente a partir de la existencia de esta subcubierta finita que f debe aumentar en [a,b] . Desde ab son arbitrarios, esto demuestra que f está aumentando.

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