SUGERENCIA: Supongamos que f es localmente creciente en cada punto de R pero f no es una función creciente; entonces hay a,b∈R tal que f(a)≥f(b) . Sea B={x∈[a,b]:f(a)≥f(x)} ; B∖{a} es no vacía, ya que b∈B y está limitada por debajo por a Así que b tiene un límite inferior mayor x0∈[a,b] .
Demostrar que x0∈B y considerar dos casos:
- x0=a . Utilice la hipótesis de que f es localmente creciente en a para obtener una contradicción.
- x0>a . Entonces f(x)>f(x0) para cada x∈(a,x0) . Utilice el hecho de que f es localmente creciente en (¿qué punto?) para obtener una contradicción.
Como alternativa, si está familiarizado con la definición de compacidad de la tapa abierta, puede dejar que [a,b] sea un intervalo cerrado cualquiera y utilizar la hipótesis de que f es localmente creciente en cada punto para obtener una cobertura U de [a,b] por intervalos abiertos en cada uno de los cuales f es creciente, entonces utiliza la compacidad de [a,b] para obtener una subcubierta finita y demostrar directamente a partir de la existencia de esta subcubierta finita que f debe aumentar en [a,b] . Desde a≤b son arbitrarios, esto demuestra que f está aumentando.