Reescribir la definición de supremum

Question

En mi libro de texto que a continuación se presenta como un teorema, que a veces es también citada como definición del supremum:

S $\subseteq \mathbb{R}$, S no-vacío, $\sigma$ = sup S FIB

1. $\sigma$ es una cota superior de S
2. $\forall \epsilon >0\:\exists y \in S \; y>\sigma-\epsilon$

Creo que 2 solo está diciendo que para cualquier elemento menos de $\sigma$, hay algún elemento en S mayor de ese elemento. Por lo tanto condición 2 puede ser reescrita como:

$\forall x x$

Answer 1

Sí:

Si $x0$, por lo tanto el $\exists y\in S: y>\sigma-\epsilon=\sigma-\sigma+x=x$%.

Por el contrario, que $\epsilon>0$. Entonces $x=\sigma-\epsilonx=\sigma-\epsilon$.