Espectro discreto y esenciales del laplaciano en $\mathbb R_{+}$ (con raras condiciones de límite)

Question

Estoy dado de

en el espacio de Hilbert $\mathcal H=L^2(\mathbb R_{+})$

Af(x)=-f''(x) $$ $$ y

Dominio de la A es D $$ (A) = \ {f\in H_2 (\mathbb instalaci6n {+}) \; \; | \; \; f'(0) + \alpha f (0) = 0} $$

$\alpha \in \mathbb R$

Necesito encontrar el espectro discreto y esencial de este operador ilimitada. Sólo conozco una manera de encontrar el espectro de Laplaciano, que es por transformada de Fourier (y su variante de media línea). No sé cómo manejar esta situación.

Answer 1

Considere la posibilidad de que el operador $$ A_0f(x)=-f"(x) $$

$$ D(A_0)=\{f\en H_2(\mathbb R_{+})\;\;| \;\;f'(0)=f(0)=0\} $$

Es un operador simétrico con finito (y equivalentes) de defecto índices de $(1,1)$. Todos los auto-adjunto extensiones (incluyendo el operador $A$ dependiendo $\alpha\in\mathbb R$, y el uno con '$\alpha=\infty$', que corresponde a la condición de contorno $f(0)=0$) tienen la misma esenciales del espectro. En esta pregunta se muestra que este espectro es $[0,\infty)$.

Suponga que $A$ tiene un punto de espectro, es decir,$Af=-f''=\lambda f,\ \lambda\in\mathbb R$. La solución fundamental de $f''+\lambda f=0$ es $$\{\sin{\sqrt{\lambda}x},\ \cos{\sqrt{\lambda}x}\},\ \lambda>0$$ or $$\{e^{\sqrt{-\lambda}x},e^{-\sqrt{-\lambda}x}\},\ \lambda<0$$ or $$\{1,x\},\ \lambda=0.$$

Desde $f\in H_2(\mathbb R_{+})$, la única posible vector propio de a$A$$e^{-\sqrt{-\lambda}x}$$\lambda <0$. La condición de contorno $f'(0)+\alpha f(0)=0$ implica $$-\sqrt{-\lambda}e^{0}+\alpha e^{0}=0$$ i.e. $\alfa=-\sqrt{-\lambda},\ \lambda<0$.

Por lo tanto, $A$ tiene un punto de espectro iff $\alpha<0$. En este caso, $\sigma_p(A)=\{-\alpha^2\}.$