Demostrar que el conjunto de Cantor contiene puntos distintos de los extremos del intervalo.

Question

Estoy perplejo con un problema en un libro de texto. Esto no es una tarea. Soy un físico que está estudiando por su cuenta las integrales de Lebesgue y la teoría de Fourier. Estoy empezando con lo básico, y leyendo sobre la teoría de la medida.

El problema es demostrar que $\frac{1}{4}$ es un elemento del conjunto de Cantor. Mi primer pensamiento sería encontrar una expansión ternaria que conste sólo de 0 y 2.

Sin embargo, lo que me cuesta es imaginar que tras la intersección infinita que crea el conjunto de Cantor quede algo más que los puntos finales del intervalo. Me imagino que si elijo un número real que no esté en algún punto final del intervalo podría encontrar un $N$ lo suficientemente grande como para que se borre la parte de la línea real a la que pertenece el número. Me gustaría ver por qué se rompe este argumento.

Answer 1

Tu primer pensamiento es bueno. $(\frac 14)_{10}=0.\overline{02}_3=\sum \frac 2{9^i}=\frac {\frac 29}{1-\frac 19}$ . Como cada etapa borra los números que quedan que tienen un $1$ en ese punto de la expansión, nunca se borra. No es el punto final de un intervalo, pero es un límite de puntos finales de intervalos.