¿Cuáles son las leyes de los exponentes racionales?

Question

En Math SE, he visto varias preguntas que se relacionan con lo siguiente. Al abusar de las leyes de los exponentes para exponentes racionales, uno puede llegar a cualquier cantidad de paradojas aparentes, en las que un número parece ser igual a su opuesto (negativo). Posiblemente el ejemplo más conciso:

$-1 = (-1)^1 = (-1)^\frac{2}{2} = (-1)^{2 \cdot \frac{1}{2}} = ((-1)^2)^\frac{1}{2} = (1)^\frac{1}{2} = \sqrt{1} = 1$

De las siete igualdades en esta declaración, me da vergüenza decir que no estoy totalmente seguro cuál es incorrecta. Al restringir la discusión a números reales y exponentes racionales, podemos consultar algunos libros de álgebra universitaria/pre-cálculo y encontrar definiciones como la siguiente (aquí, Ratti & McWaters, Precálculo: enfoque de triángulo rectángulo, sección P.6):

Lo que parece ser más sospechoso en mi ejemplo anterior es la 4ª igualdad, $(-1)^{2 \cdot \frac{1}{2}} = ((-1)^2)^\frac{1}{2}$, que parece violar el espíritu de la definición de Ratti de exponentes racionales ("sin factores comunes")... pero técnicamente, esa transición de exponente racional a expresión radical no se utilizó en este punto. De hecho, todavía estamos manipulando solo exponentes racionales, lo cual parece cumplir completamente con la 2ª propiedad de Ratti: $(a^r)^s = a^{rs}$, donde de hecho "todas las expresiones utilizadas están definidas". El cambio de exponente racional a expresión radical (a través de la definición de exponente racional) no ocurre hasta la 6ª igualdad, $(1)^\frac{1}{2} = \sqrt{1}$, y eso parece ser innegablemente una afirmación verdadera. Entonces estoy un poco confundido acerca de dónde exactamente está la falsedad.

Podemos encontrar definiciones efectivamente idénticas en otros libros. Por ejemplo, en el Álgebra Universitaria de Sullivan, su definición es (sec. R.8): "Si $a$ es un número real y $m$ y $n$ son enteros que no contienen factores comunes, con $n \ge 2$, entonces: $a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$, siempre que $\sqrt[n]{a}$ exista"; y él menciona brevemente que "las leyes de los exponentes se cumplen para exponentes racionales", pero todos los ejemplos se restringen solo a variables positivas. Álgebra Universitaria de OpenStax hace lo mismo (sec. 1.3): "En estos casos, el exponente debe ser una fracción en términos más bajos... Todas las propiedades de los exponentes que aprendimos para exponentes enteros también se cumplen para exponentes racionales."

Entonces, ¿cuáles son exactamente las restricciones de las leyes de los exponentes en el contexto de números reales, con exponentes racionales? Como ejemplo, ¿hay alguna razón faltante en los textos anteriores por la cual $(-1)^{2 \cdot \frac{1}{2}} = ((-1)^2)^\frac{1}{2}$ es una afirmación falsa, o es una de las otras igualdades la que falla?

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Edit: Algunas publicaciones que discuten este problema:

• Goel, Sudhir K., y Michael S. Robillard. "La ecuación: $-2 = (-8)^\frac{1}{3} = (-8)^\frac{2}{6} = [(-8)^2]^\frac{1}{6} = 2$." Estudios Educativos en Matemáticas 33.3 (1997): 319-320.

• Tirosh, Dina, y Ruhama Even. "Definir o no definir: El caso de $(-8)^\frac{1}{3}$." Estudios Educativos en Matemáticas 33.3 (1997): 321-330.

• Choi, Younggi, y Jonghoon Do. "Igualdad involucrada en 0.999... y $(-8)^\frac{1}{3}$" Para el Aprendizaje de las Matemáticas 25.3 (2005): 13-36.

• Woo, Jeongho, y Jaehoon Yim. "Revisando 0.999... y $(-8)^\frac{1}{3}$ en las Matemáticas Escolares desde la Perspectiva del Principio de Permanencia Algebraica." Para el Aprendizaje de las Matemáticas 28.2 (2008): 11-16.

• Gómez, Bernardo, y Carmen Buhlea. "La ambigüedad del signo ." Actas del Sexto Congreso de la Sociedad Europea para la Investigación en Educación Matemática. 2009.

• Gómez, Bernardo. "Conflictos históricos y sutilezas con el signo en libros de texto." 6ª Universidad de Verano Europea sobre Historia y Epistemología en la Educación Matemática. HPM: Universidad de Tecnología de Viena, Viena, Austria (2010).

Answer 1

Has puesto tu dedo precisamente en la afirmación que es incorrecta.

Hay dos convenciones competitivas con respecto a los exponents racionales.

La primera convención es definir el símbolo $a^x$ solo para $a > 0$. El símbolo $\sqrt[n]{a}$ está definido para valores negativos de $a$ siempre y cuando $n$ sea impar, pero según esta convención, no se escribiría $a^{1/n}$, por ejemplo.

Al definir $a^{p/q}$ como $(\sqrt[q]{a})^p$, el autor que citaste eligió que la fracción $p/q$ esté en su forma más simple para que la definición sea inequívoca. Por ejemplo, $a^{10/15}$ está definido como $(\sqrt[3]{a})^2. Sin embargo, es preferible definir $a^{p/q}$ como $(\sqrt[q]{a})^p en todos los casos y demostrar que esta definición es independiente de la representación particular elegida para $p/q; esto es lo que suelen hacer los libros más rigurosos. Es decir, demuestras que si $p/q = r/s$, entonces $(\sqrt[q]{a})^p = (\sqrt[s]{a})^r. No se menciona la forma más simple.

La convención competitiva también permite que $a^x$ se defina para todos los $a \ne 0$ y todos los números racionales $x = p/q$ que tengan al menos una representación con un denominador impar. Entonces se demuestra que $(\sqrt[q]{a})^p$ es independiente de la representación particular de $p/q elegida, siempre y cuando el denominador sea impar. Por lo tanto, puedes escribir $a^{3/5} = (\sqrt[5]{a})^3 = (\sqrt[15]{a})^{9} = a^{9/15}. Todo eso está bien. Sin embargo, no puedes escribir $a^{6/10} = (\sqrt[10]{a})^6, o incluso $a^{6/10} = \sqrt[10]{a^6}. El número $a^{6/10}$ está bien definido, pero para escribir su definición, debes primero seleccionar una fracción equivalente a $6/10 que tenga un denominador impar, que podría ser $3/5 o 9/15 u otra. Para $a^{1/2}, esto no se puede hacer en absoluto, por lo que $a^{1/2} $ está indefinido para $a < 0.

Las reglas de los exponents se rompen si empiezas a permitir $a < 0$ y exponents que no se pueden escribir con un denominador impar. Por ejemplo, la regla $a^{xy} = (a^x)^y$ es válida, pero solo si $x$ e $y$ son ambos números racionales que pueden escribirse con un denominador impar. Esto no es válido si escribes $a^1 = (a^2)^{1/2}, a pesar de que ambos lados de la ecuación estén definidos ya que $a^2 > 0.

Editar Leyendo el trabajo de Tirosh y Even, me sorprendió saber que este asunto ha llamado la atención seria de los educadores de matemáticas.

Hace mucho tiempo, asumí que, aparte de las extensiones complejas, $a^x$ para $x$ no entero debería definirse solo para $a > 0. Razoné que no tenía sentido tener una función $(-2)^x$ definida solo para números racionales $x$ con denominador impar. Me opuse enérgicamente a notaciones como $(-8)^{1/3}.

Pero eso fue antes de enseñar una clase de cálculo, cuando me di cuenta de por qué algunos autores de libros de texto están tan felices de definir $a^x$ para $a < 0, siguiendo la segunda convención. La razón es que la fórmula $\frac{d}{dx}(x^r) = rx^{r-1}$ es perfectamente válida para $x < 0$ y $r con denominador impar.

Answer 2

$-1 = (-1)^1 = (-1)^\frac{2}{2} = (-1)^{2 \cdot \frac{1}{2}} = ((-1)^2)^\frac{1}{2} = (1)^\frac{1}{2} = \sqrt{1} = 1$

Lo que parece más sospechoso en mi ejemplo anterior es la cuarta igualdad, $(-1)^{2 \cdot \frac{1}{2}} = ((-1)^2)^\frac{1}{2}$, que parece violar el espíritu de la definición de exponentes racionales de Ratti ("sin factores comunes")... pero técnicamente, esa traducción de exponente racional a expresión radical no se usó en este punto.

De hecho, la cuarta igualdad es sospechosa, pero no por la razón que sugieres. Es una aplicación de la segunda propiedad de los exponentes racionales que mencionas arriba:

Si $r$ y $s$ son números racionales y $a$ es un número real, entonces tenemos: $$(a^r)^s = a^{r\cdot s}$$

siempre que todas las expresiones utilizadas estén definidas.

Más formal y menos ambiguo sería:

$$\forall r,s \in \mathbb{Q}\colon \forall a \in \mathbb{R}\colon [a^r\in \mathbb{R} \land a^s\in \mathbb{R} \implies (a^r)^s=a^{r\cdot s}]$$

Esta afirmación deja claro que no podemos inferir $((-1)^2)^\frac{1}{2}=(-1)^{2 \times \frac{1}{2}}$ como en la "paradoja" porque $(-1)^\frac{1}{2} \notin \mathbb R$, es decir, porque $(-1)^\frac{1}{2}$ no está definido.

Que ambas restricciones son necesarias se puede ver en el hecho de que debemos tener $a^{r\cdot s}=a^{s\cdot r}=(a^s)^r=(a^r)^s$. Si tuviéramos $a^s \notin \mathbb{R}$, no podríamos hacer esta sustitución.

Con esto en mente, podríamos reformular la regla de la siguiente manera:

$$\forall r,s \in \mathbb{Q}\colon \forall a \in \mathbb{R}\colon [a^r\in \mathbb{R} \land a^s\in \mathbb{R} \implies a^{r\cdot s}=(a^r)^s=(a^s)^r]$$

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Aunque no tiene nada que ver con resolver la paradoja, también podríamos necesitar definir $x^\frac{1}{n}$ de la siguiente manera:

$\forall x,y\in \mathbb{R}\colon\forall n\in \mathbb{N}\colon [Odd(n)\lor Even(n) \land n\neq 0 \land y\geq 0\implies [x^\frac{1}{n} =y\iff x=y^n ]]$

Usando esta regla, podríamos inferir que $4^\frac{1}{2}=2$, pero no $4^\frac{1}{2}=-2$.

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Por cierto, en cuanto a $\frac{m}{n}$ tener que estar en términos más bajos, la definición dada parece un poco descuidada. No puede ser, por ejemplo, que $4^\frac{2}{4}$ esté indefinido cuando $4^\frac{2}{4}= 4^\frac{1}{2}$ por sustitución de $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Realmente no creo que esta noción pueda ser la fuente de la paradoja.

Answer 3

El problema es que $a^{\frac{1}{n}}$ tiene múltiples valores. Podrías argumentar que simplificar el primer cálculo en $1 = \sqrt{1} = -1$. Tomar diferentes cortes de rama es cómo surge la "paradoja".

Esencialmente, en el contexto de los números reales (o incluso los números complejos) $\sqrt{a}$ es un nombre para dos funciones, digamos $\sqrt[+]{a^2} = a$ y $\sqrt[-]{a^2} = -a$. Todas las reglas están bien siempre y cuando te mantengas consistente con tu elección. (Alternativamente, al mudarte a una superficie de Riemann no tienes que hacer y seguir una elección... bueno, tienes que decidir cuándo y cómo vas a incrustar tus números reales en la superficie de Riemann, pero una vez que lo hagas, no hay más elecciones.)

Cada vez que las raíces cuadradas entran en escena - puedes decir en $-1 = (-1)^{\frac{2}{2}}$ o en $((-1)^2)^{\frac{1}{2}}$ - elige explícitamente, yendo de izquierda a derecha, la elección no estándar de $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt[-]{a}$. Si hubiera elegido la elección estándar que usa más adelante, entonces, $-1 = -(-1)^{\frac{2}{2}} = -((-1)^2)^{\frac{1}{2}}$ y todo funcionaría. Si hubiera sido consistente con la elección de $\sqrt[-]{}$ entonces $\sqrt{1} = \sqrt[-]{1} = -1$ también habría dado como resultado correcto.

Moviendo mi comentario a la respuesta, una fuente crucial de confusión es que la definición de $a^{\frac{m}{n}}$ no es una función bien definida de los racionales en que no respeta la igualdad de los racionales. Esto se evidencia por la necesidad de que $\frac{m}{n}$ esté en términos más bajos, y, relevante aquí, el hecho de que $1 = \frac{n}{n}$ no implica no que $a^1 = a^{\frac{n}{n}}. De hecho, la falta de definición de la definición proporcionada de $a^\frac{m}{n}$ se reduce por completo a la cuestión de lo que es $a^\frac{n}{n}$.

Entonces, para expresarlo en términos de reglas: todas las reglas son válidas, lo que es inválido es cancelar factores comunes en un exponente "racional" porque los exponentes en realidad no son números racionales.

Answer 4

No se puede hacer una definición continua de $a^r$ para todos los números reales $a$ y $r$; y de la misma manera, las propiedades familiares de los exponentes no pueden extenderse de manera consistente a todas las bases y potencias reales. Como resultado, existen varias definiciones en competencia para $a^r$ para valores no enteros de $r$, dependiendo de cuánto el autor desee extender estas propiedades y en qué dirección. Aquí hay algunas cosas que podemos afirmar positivamente para una identidad como $(a^r)^s = a^{rs}$:

• Es verdadero para todos los números naturales $r$ y $s$, y todos los números reales $a$. [1]
• Es verdadero para todos los enteros $r$ y $s$, y todos los reales no nulos $a$.
• Es verdadero para todos los números reales $r$ y $s$, y todos los reales positivos $a$.

Es importante señalar que mientras más permisivos seamos con $r$ y $s$, más restricciones debemos imponer en $a$. Algunos autores extienden aún más la definición con valores reales de $a^r$ (y por ende propiedades relacionadas) a reales negativos $a$ y racionales no enteros $r$ (mientras que otros no lo hacen); pero esta es una definición bastante frágil, ya que para ser bien definida requiere que $r = m/n$ sea escrito con un valor impar para $n$ (los libros en esta línea usualmente especifican que debe estar en términos más bajos). Uno de los mayores problemas con este enfoque es que una “raíz principal $n$ésima” de valor real dará resultados contradictorios con la “raíz principal $n$ésima” de valores complejos para bases negativas. Por ejemplo, si se da una definición de valor real, entonces $(-8)^{1/3} = -2$; pero por la definición estándar de valores complejos, $(-8)^{1/3} = 1 + \sqrt{3}i$. Esto parece causar alguna confusión al discutir el tema en diferentes contextos. Argumentablemente, sería mejor abstenerse de esa extensión muy limitada en números reales, para no entrar en conflicto con la definición más general de valores complejos. (Consulte los artículos citados en la pregunta anterior para ver algunos debates publicados sobre la sabiduría de usar esa definición de valores reales para bases negativas y exponentes no enteros).

En cuanto al ejemplo en la pregunta, casi todos están de acuerdo en que $(-1)^{2 \cdot \frac{1}{2}} \ne ((-1)^2)^\frac{1}{2}$, si ambos lados se simplifican en el orden estándar de las operaciones; y esto destaca el hecho de que la identidad $(a^r)^s$ = $a^{rs}$ no es verdadera sin restricciones. Exactamente qué restricciones deben respetarse dependen de las definiciones utilizadas en un libro de texto particular. Para Ratti, podríamos mejorar la presentación interpretando la cláusula "siempre que todas las expresiones utilizadas estén definidas" en el sentido amplio de cada expresión dentro del recuadro (no solo la identidad utilizada), y dado que $a^s$ aparece en otros lugares en el recuadro, y $(-1)^\frac{1}{2}$ ciertamente está indefinido en números reales, entonces la afirmación $((-1)^2)^\frac{1}{2} = (-1)^{2 \cdot \frac{1}{2}}$ (la cuarta igualdad) estaría prohibida.

[1]: Y más generalmente para $a$ un elemento de cualquier anillo.

Answer 5

$(a^r)^s=a^{rs}$ realmente puede ser falso para $a<0$, como se muestra en tu ejemplo.

Puedes "rescatar" esta regla declarando en su lugar "$(a^r)^s=a^{rs}=(a^s)^r$, siempre y cuando las tres expresiones estén definidas". (Dado que el producto es conmutativo, realmente no puedes distinguir entre $r$ y $s.)