¿Cuáles son las invariantes de la matriz que caracterizan la similitud?

Question

Deje que $F= \mathbb {R}$ o $ \mathbb {C}$ .

Me pregunto si un conjunto de invariantes (polinomio característico, un conjunto de valores propios, el conjunto de multiplicidad de cada valor propio) caracteriza exactamente la relación similar de la matriz.

Más precisamente, que $A,B \in M_{n \times n}(F)$ son las dos matrices cuyos polinomios característicos y conjunto total de valores propios son iguales. Además, si $ \lambda\in F$ es cualquier valor propio común de ellos, entonces suponemos que la multiplicidad algebraica de $ \lambda $ de $A$ y $B$ son iguales e iguales para sus multiplicidades geométricas.

En esta situación, ¿podemos decir que $A$ y $B$ son similares? Es decir, ¿hay una matriz invertible $U \in M_{n \times n}(F)$ de tal manera que $U^{-1}AU=B$ ?

Creo que puede no ser cierto. Pero tengo algunos problemas para encontrar un contra-ejemplo.

Cualquier comentario sobre esto será muy apreciado.

Answer 1

No, no puedes. Si tomas todos los invariantes que diste, tienes que hacer tus matrices un poco más grandes, pero todavía hay contraejemplos (creo que $8 \times 8$ debería funcionar, pero no estoy seguro). Un invariante es la forma normal de Jordan. También hay una forma normal de Jordan generalizada que funcionará sobre los reales. Pero tomar el polinomio característico, el polinomio mínimo, los valores propios, las multiplicidades, etc. no funcionará si las matrices son demasiado grandes. De hecho, se pueden generar contraejemplos utilizando las formas normales de Jordan, sólo hay que saber leer todos estos invariantes de la forma normal.