Intentando sumar una serie finita

Question

He tratado de resolver una financiera matemática de la tarea y necesito la suma de dicha serie finita:

$$\sum_{k=1}^{6}\frac{1.05^{3k+1}}{1.05^{3k+1}-1}$$

Así que decidí que tal vez voy a tratar de encontrar una solución a : $$\sum_{j=1}^{n}\frac{x^{j}}{x^{j}-1}$$ Mi primera idea fue la de a $+1$ $-1$ en el numerador. Así que me gustaría conseguir: $$\sum_{j=1}^{n}1+\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{x^{j}-1}$$ Pero no es el enfoque correcto o simplemente no veo cómo continuar. Podría alguien ayudarme con el problema? Sé que podría acaba de poner la primera fórmula para mathematica, pero yo no podía hacer tal cosa durante un examen o una prueba, así que me gustaría encontrar un documento de respuesta.

EDITAR:

También tengo que hallar la suma de: $$\sum_{j=1}^{n}\frac{jx^{j}}{x^{j}-1}$$ Pero eso es aún más difícil.

Answer 1

$$\sum_{n=1}^{6}\frac{1.05^{3k+1}}{1.05^{3k+1}-1}=\sum_{n=1}^{6}\frac{1}{1-(\frac{20}{21})^{3k+1}}$ $ y luego usa$$ \frac{1}{1-x^m}=\sum_{n=0}^{\infty }x^{nm}