¿Cuáles son los usos de identificaciones Cruz-teórica en matemáticas?

Question

He estado pensando acerca de la identificación de objetos de diferentes teorías matemáticas. Por ejemplo, cuando usted no establece teórico de las construcciones de los números naturales y de identificar, por ejemplo, 0 con el conjunto vacío. O bien, cuando el uso de coordenadas Cartesianas de los sistemas y la identificación de puntos en la n-dimensional Euclideano espacios con n-tuplas de números reales.

¿Cuál es el propósito de estas identificaciones? ¿Qué ventaja matemáticos ganancia del estudio de la geometría desde una perspectiva analítica, o el estudio de la teoría de números a partir de un conjunto perspectiva teórica? Hacer todas estas cruz de la teoría de las identificaciones de servir a un solo propósito o son sus razones para adoptar (por ejemplo, tal vez establecida la teoría de las identificaciones son más importantes porque de algunos fundacionalista supuesto de que "la teoría de conjuntos es el último tribunal de apelaciones en matemáticas")?

Answer 1

Cualquier rotación en $\mathbb{R}^3$ es una rotación alrededor de un eje: es decir, se deja una línea a través de cero fijo*. Pero las rotaciones en $\mathbb{R}^2$ no tiene esta propiedad: se puede girar todo el espacio. ¿Por qué debería ser esto?

Las rotaciones en $\mathbb{R}^n$ puede ser descrito por cierto $n \times n$ matrices. La idea de "dejar una línea a través de cero fijo" es equivalente a decir que para nuestra matriz $\mathbf{A}$ existe un vector $v$ tal que $\mathbf{A}v = \lambda v$ para algunos escalares $\lambda$. (La línea fija sería la línea de todos los múltiplos escalares de $v$).

Esta propiedad que $v$ tiene se le llama ser un autovector de a $\mathbf{A}$, por lo que $\lambda$ es el autovalor asociado. Cada autovector tiene un autovalor, y viceversa. (Para que nos vamos a encontrar $v$s por encontrar su $\lambda$s).

Autovalores son soluciones de un cierto polinomio asociado con $\mathbf{A}$, es decir, el polinomio en la variable $x$$\det(xI - \mathbf{A})$. Ahora sólo nos preocupa acerca de una propiedad específica de que el polinomio: si la matriz es $n \times n$, tiene un grado de $n$.

Bueno, así: vamos a $n = 3$. Si el polinomio tiene alguna solución (en reales) entonces tenemos a nuestro autovalor, y, por lo tanto, nuestro eje. Y hemos terminado, ya que nuestro polinomio es una cúbicos, y cada cúbicos tiene (al menos) una solución real.

Por qué? Intenta dibujar un cúbicos que no cruza la $x$-eje.

Por otra parte, es perfectamente posible dibujar una cuadrática que no cruza la $x$-eje (como $x^2 + 1$): por eso no hay línea fija al $n = 2$.

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Para ello, hemos pensado en un tipo de función (de rotación) como una matriz, $n \times n$ bloque de números. Hemos hecho algunos de los argumentos sobre el bloque de números a 1) a la conclusión de cosas que no podía tener concluyó acerca de una mera función, y 2) obtener un nuevo objeto, nuestro polinomio. Entonces, pensamos que el polinomio como una curva en el plano (utilizando geometría analítica como usted ha mencionado), y de hecho algunos de los argumentos sobre curvas en el plano.

Así que la cruz de la teoría de las identificaciones nos deja ver algo que no tendría de otra manera.

*_{Este es llamado el Teorema de Euler, pero también el de la imagen.}

Answer 2

La cuestión se ejecuta junto a dos cuestiones diferentes, parece:

1. ¿Cuál es el uso de la identificación de objetos de diferentes teorías matemáticas -- e.g identificación de números o en conjuntos de identificación de los puntos en la n-dimensional Euclideano espacios con n-tuplas de números reales?
2. ¿Qué ventaja matemáticos ganancia del estudio de la geometría desde una perspectiva analítica, o el estudio de la teoría de números a partir de un conjunto perspectiva teórica?

Ahora, hay (por ejemplo) un montón de ejemplos de pruebas en geometría que son más fáciles cuando usted vaya a través de un sistema de coordenadas. Pero tenga en cuenta que estas no dependen de la identificación de puntos en un espacio Euclidiano con una tupla de reales. Es suficiente si se puede configurar isomorphisms entre las estructuras en Euclidiana espacio de tres, por ejemplo, y las estructuras de la $\mathbb{R}$. Así mismo, en los demás casos.

La necesaria isomorphisms no ser único. En el caso de la elección de una coordenada esquema, tenemos que elegir el origen, la orientación y el tamaño de una unidad a lo largo de cada eje de coordenadas. Por supuesto, para un problema en particular, algunas de las opciones será más cómodo ba que otros! Pero aún así, la asociación de puntos con tuplas se implican más o menos arbitrarias decisiones. No coordinar esquema puede decirse que revelan que tupla de números de un punto dado "realmente" es. Así que, a menudo, hablar de la identificación de los objetos de los matemáticos diferentes dominios estrictamente hablando, el sobrepasamiento: es menos engañoso decir que las tuplas "representar" o "modelo" del espacio.