Doble de Schanuel lema

Question

Este es un ejercicio de Rotman, Introducción al álgebra homológica.

Dado exacto secuencias de $R$-módulos

$$\begin{array}{ccccccccc} 0 & \longrightarrow & M & \overset{i}{\longrightarrow} & E & \overset{p}{\longrightarrow} & Q & \longrightarrow & 0\\ 0 & \longrightarrow & M & \overset{i'}{\longrightarrow} & E' & \overset{p'}{\longrightarrow} & Q' & \longrightarrow & 0 \end{array}$$

donde $E$ $E'$ son inyectiva, entonces existe un isomorfismo $$Q \oplus E' \cong Q'\oplus E$$

Lo que he hecho:

He completado el diagrama mediante el diagrama de persecución y la inyectividad de E'

$$\begin{array}{ccccccccc} 0 & \longrightarrow & M & \overset{i}{\longrightarrow} & E & \overset{p}{\longrightarrow} & Q & \longrightarrow & 0\\ & & id\downarrow & & h\downarrow & & k\downarrow\\ 0 & \longrightarrow & M & \overset{i'}{\longrightarrow} & E' & \overset{p'}{\longrightarrow} & Q' & \longrightarrow & 0 \end{array}$$

Entonces traté de definir una secuencia exacta

$$\begin{array}{ccccccccc} 0 & \longrightarrow & E & \overset{r}{\longrightarrow} & Q\oplus E' & \overset{s}{\longrightarrow} & Q' & \longrightarrow & 0\\ \end{array}$$

porque en este caso se podría concluir que $$Q\oplus E' \cong Q'\oplus E$$ due to the injectivity of $E$.

He definido $$r : E \to Q\oplus E'$$ $$e \mapsto (p(e),h(e))$$ $$s : Q\oplus E' \to Q'$$ $$(a,b) \mapsto k(a) - p'(b)$$

Entonces es fácil ver que $$\text{im}(r) \subseteq \ker(s)$$

Pero no puedo demostrar que $\ker(s) \subseteq \text{im}(r)$, lo que está mal ?

Answer 1

Asumir que $(a,b) \in \text{Ker }s,$ %, $k(a)=p'(b)$.

$p$ Es sobreyectiva, uno puede elegir $e_0\in E$ tal que $p(e_0)=a$. . Indicar $b_0=h(e_0)$. Del commutativity de la Plaza del lado derecho, se desprende %#% $#% por lo tanto,$$p'(b_0)=p'(h(e_0))=k(p(e_0))=k(a)=p'(b),$.

Así, hay $b-b_0 \in \text{Ker }p' = \text{Im }i'$ tal que $m \in M$ (Nótese que aquí el commutativity de la Plaza del lado izquierdo fue utilizado).

Poner $h(i(m))=i'(m)=b-b_0$.

Entonces $$h(e)=h(e_0)+h(i(m)) = b_0 + (b-b_0) = b, \ p(e)=p(e_0)+p(i(m)) = p (e_0) +0 = a.$$ así, $e:=e_0+i(m)$.