Este es un ejercicio de Rotman, Introducción al álgebra homológica.
Dado exacto secuencias de $R$-módulos
\begin{array}{ccccccccc} 0 & \longrightarrow & M & \overset{i}{\longrightarrow} & E & \overset{p}{\longrightarrow} & Q & \longrightarrow & 0\\ 0 & \longrightarrow & M & \overset{i'}{\longrightarrow} & E' & \overset{p'}{\longrightarrow} & Q' & \longrightarrow & 0 \end{array}
donde $E$ $E'$ son inyectiva, entonces existe un isomorfismo $$Q \oplus E' \cong Q'\oplus E$$
Lo que he hecho:
He completado el diagrama mediante el diagrama de persecución y la inyectividad de E'
\begin{array}{ccccccccc} 0 & \longrightarrow & M & \overset{i}{\longrightarrow} & E & \overset{p}{\longrightarrow} & Q & \longrightarrow & 0\\ & & id\downarrow & & h\downarrow & & k\downarrow\\ 0 & \longrightarrow & M & \overset{i'}{\longrightarrow} & E' & \overset{p'}{\longrightarrow} & Q' & \longrightarrow & 0 \end{array}
Entonces traté de definir una secuencia exacta
\begin{array}{ccccccccc} 0 & \longrightarrow & E & \overset{r}{\longrightarrow} & Q\oplus E' & \overset{s}{\longrightarrow} & Q' & \longrightarrow & 0\\ \end{array}
porque en este caso se podría concluir que $$Q\oplus E' \cong Q'\oplus E$$ due to the injectivity of $E$.
He definido $$r : E \to Q\oplus E'$$ $$e \mapsto (p(e),h(e))$$ $$s : Q\oplus E' \to Q'$$ $$(a,b) \mapsto k(a) - p'(b)$$
Entonces es fácil ver que $$\text{im}(r) \subseteq \ker(s)$$
Pero no puedo demostrar que $\ker(s) \subseteq \text{im}(r)$, lo que está mal ?
