Me piden que encuentre una base para $W$ que es un subespacio de $M_n(F)$ .
$W$ es el subespacio que contiene todos los triángulos superiores $n \times n$ matrices.
How do you find this basis?Mi opinión es que es simplemente una colección de $[n(n+1)]/2$ matrices $E^{ij}$ en el que $ij = 0: i>j$ .
¿Sería esto correcto, y si es así, hay una forma mejor de expresarlo? ¿Cómo puedo demostrar que se extiende?
Su respuesta es, efectivamente, correcta.
Demostrar que este conjunto abarca todas las matrices triangulares superiores y demostrar que es linealmente independiente debería ser muy fácil (pero si tienes problemas con alguna no dudes en actualizar tu pregunta para que pueda añadir detalles a esta respuesta)
Añadido: para demostrar que este conjunto abarca todas las matrices triangulares superiores tome una matriz triangular superior. si el $(i,j)$ coardinar es $a$ ¿cuál sería el coeficiente de $E_{i,j}$ ¿Las otras matrices de la suma pueden afectar a esta coordenada?
Ejemplo: $$\begin{pmatrix}a & b\\ 0 & c \end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
¿Puede generar para $n$ ?
Creo que lo tengo... Puedo demostrar que la adición de dos matrices E^ij seguirá manteniendo que ij = 0 cuando i>j ya que 0 + 0 = 0. ¿Es lo suficientemente concreto...?
Esto sólo demuestra que este conjunto está contenido en el espacio de todas las matrices triangulares superiores. hay que demostrar que toda matriz triangular superior es una combinación lineal de esas matrices. ¿te queda claro por qué?
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La parte $ij=0:i>j$ es bastante confuso, pero sé lo que quieres decir. Una forma mejor de decirlo es $\{E^{ij}\mid 1\leq i\leq j\leq n, \}$ .