Un grupo con ciertos tres subgrupos cíclicos distintos

Question

¿Hay algún grupo con elementos$a,b$ tales que$\langle ab\rangle=\langle ba\rangle$, sin embargo, los subgrupos cíclicos generados por$a,b$ y$ab$ son distintos?

Si$\langle ab\rangle=\langle ba\rangle$ luego$ab$ y$ba$ se conmutan, eso es$ab^2a=ba^2b$, pero no puedo encontrar una consecuencia útil de esta igualdad.

Answer 1

Tome el grupo de cuaterniones de orden 8:$Q=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$ y ponga$a=i$ y$b=j$.

Answer 2

¿Qué tal el grupo Klein$K=<a, b\;|\;a^2=b^2=a^{-1}b^{-1}ab=1>$?

Answer 3

Esto debería completarlo.

Answer 4

Algo en el otro extremo del ejemplo mínimo de jpvee es el ejemplo "más grande mínimo"

$$G_{m,n}=\langle \,a,b\mid (ab)^n=ba, (ba)^m=ab\,\rangle $ $ para adecuado$n,m\in\mathbb Z\setminus \{0\}$. Sin embargo, no siempre es inmediatamente claro que los elementos de un grupo presentado que se ven distintos realmente son distintos. Pero podemos identificar fácilmente uno de estos:$$ G_{1,1} =\langle \,a,b\mid ab=ba\,\rangle\cong \mathbb Z\oplus \mathbb Z.$ $