Si $\int_{a}^{b}f(x)g^n(x)dx=0, \quad \forall n \in \mathbb{N}, \; $ entonces $\; f \equiv 0$

Question

Sea g continua, no negativa y estrictamente creciente en [a, b]. Demuéstrese que si $f$ es continua y $$\int_{a}^{b}f(x)g^n(x)dx=0, \quad \forall n \in \mathbb{N},$$ entonces $f\equiv 0$ .

Con un cambio de variable he llegado hasta aquí pero no he podido continuar: $$\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)u^n \frac{du}{u'}=0, \quad \forall n \in \mathbb{N},$$

Dos casos particulares ya resueltos por la comunidad son:

$g(x)=x$ y $x \in [0,1]$ : $\quad \int_{0}^{1}f(x)x^ndx=0, \quad \forall n \in \mathbb{N}, \; $ entonces $f\equiv 0$ .

$g(x)=e^x$ : $\quad \int_{a}^{b}f(x)e^{nx} dx=0, \quad \forall n \in \mathbb{N}, \; $ entonces $f\equiv 0$ .

Answer 1

Según el planteamiento del problema, $g$ es un homeomorfismo $[a,b]\to [c,d]$ . La función continua $f\circ g^{-1}\colon [c,d]\to\Bbb R$ pueden aproximarse uniformemente mediante polinomios. Así, para $\epsilon>0$ encontramos $p\in\Bbb R[X]$ con $|f(g^{-1}(t))-p(t)| <\epsilon$ para todos $t\in[c,d]$ o, de forma equivalente $|f(x)-p(g(x))|<\epsilon$ para todos $x\in[a,b]$ . Entonces $$\begin{align}\int_a^bf(x)^2\,\mathrm dx&=\int_a^b f(x)p(g(x))\,\mathrm dx+\int_a^bf(x)(f(x)-p(g(x))\,\mathrm dx \\ &\le\rlap{\qquad0}\hphantom{\int_a^b f(x)p(g(x))\,\mathrm dx+}\llap{+\;\epsilon}\int_a^b|f(x)|\,\mathrm dx.\end{align}$$ En $\epsilon$ era arbitraria $>0$ concluimos $\int_a^bf(x)^2\,\mathrm dx\le 0$ y por lo tanto $f\equiv 0$ .

Answer 2

Para simplificar, supongamos $[a,b] = [0,1]$ y primero supongamos $g(x)=x$ teniendo en cuenta el caso particular, tenemos $\int_{0}^{1} f(x) p(x) = 0 $ para cada $P(x) = polynomial$ .

ahora desde $f(x)$ es continua en $[0,1]$ entonces existe una secuencia de polinomios, digamos $P_n$ tal que $P_n \rightarrow f$ uniformemente. Esto implica que $$ 0= \int_{0}^{1} f(x) p_n (x) \rightarrow \int_{0}^{1} |f(x)|^2 $$ Por lo tanto, $\int_{0}^{1} |f(x)|^2 =0$ y porque $f$ es continua llegamos a $f=0.$
Ahora dejemos que W.L.O.G asuma $g:[0,1] \rightarrow [0,1]$ es onto (de lo contrario se puede escalar este g) esto implica $0=g(0),~ 1=g(1)$ ahora por sustitución $y=g(x)$ la condición de la pregunta pasa a ser $$ \int_{0}^{1} F(y) y^n dy =0 $$ donde $F(y) = f(g^{-1} (y)) (g^{-1} (y))' $ por lo tanto, de acuerdo con mi argumento anterior $F=0$ lo que implica $f=0$

Algunas aclaraciones :

Tenga en cuenta que $g$ es estrictamente creciente por lo que $g^{-1}$ es. Y es un hecho bien conocido que toda función creciente tiene puntos no diferenciables casi contables, por tanto $g^{-1}$ es diferenciable a.e. Por lo tanto no afecta a la integrabilidad y al valor de la integral. Esto hace que $F=0$ a.e y luego $f=0$ a.e y puesto que $f$ es continua $f=0$ ¡en todas partes!.

P.D. para los que les cuesta escalar $g$ si $[g(0) , g(1)] \neq [0,1]$ puede escalar esto $g$ de este modo $\frac{g(x)-g(0)}{g(1)-g(0)}.$

Answer 3

Hagen von Eitzen ha dado una solución elegante válida cuando g es estrictamente creciente, pero no es necesario que g sea no negativo. Sin embargo no es necesario suponer la integral (1) I[a,b]f(x)(g(x))^n dx =0 para todos los enteros no negativos n= 0,1,2,3... . Basta suponerlo para los enteros n >= M donde M es cualquier entero positivo y al aumentar M suponemos que M es impar .Usamos el teorema de Stone Weierstrass en lugar del Teorema de Weierstrass . Nótese que (1) implica que I[a,b]f(x) (g(x)^M (p(g(x))dx =0 para todos los polinomios Si g(x) nunca es 0 en [a, b] entonces g(x)^M es estrictamente creciente por lo tanto el álgebra de funciones de la forma (2)q(x)= (g(x)*M (p(g(x)) separa los puntos de [a,b] y no todas desaparecen en ningún punto y por lo tanto densas en las funciones continuas para la norma mac . Usando tal secuencia convergente a f(x) uniformemente vemos que I(f(x)^2 ) =0 por lo que f desaparece idénticamente como antes Qué ocurre si g(c) = 0 para algún c en [a,b] (exactamente uno ,g es estrictamente creciente . Entonces las funciones de la forma C + q (q como en (2),C una constante real ) son un conjunto denso . Pero si h(c)=0 H continua entonces una secuencia de funciones c+q oonverge uniformemente a h y todo q(c)=0 por lo tanto la secuencia de constantes c tiende a 0 por lo que la secuencia de q 's =c+q -c tiende a h uniformemente . Tomemos h = f T donde T(x) está entre 0 y 1 ,T(c) =0 .y T=1 fuera y un intervalo de longitud e que contenga c , T continuo entonces veamos que I (f^2T) =0 Dejemos que e tienda a 0 para obtener I(f*2)=0 y por tanto f=0 . Stuart M.N.

Answer 4

Bien, reinténtalo. Supongamos $f$ no es idénticamente cero. Entonces existe al menos un punto $x_0 \in [a,b]$ tal que $f(x_0) \neq 0$ y decir w.l.o.g. que $f(x_0) > 0$ (de lo contrario, basta con tomar la negación). Dado que $f$ es continua, hay un pequeño vecindario alrededor de $x_0$ donde $f>0$ en ese intervalo. Dado que $g$ es no negativo y creciente, esto implica que

$$ \int f(x)\,g^n(x)\,dx > 0 $$

Lo cual es una contradicción con la afirmación original. Por lo tanto $f \equiv 0$ .