Que $a, b, c$ ser positivo números verdaderos tales que $abc=1.$ demostrar que $(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)\le1$

Question

Que $a, b, c$ ser positivo números verdaderos tales que $abc=1.$ demostrar que:

$$\left(a-1+\dfrac1b\right)\left(b-1+\dfrac1c\right)\left(c-1+\dfrac1a\right)\le1$$

o equivalente:

$$(ab-b+1)(bc-c+1)(ca-a+1)\le1$$

Lo que he probado:

$\left(a-1+\dfrac1b\right)$ De computación utilizando $abc=1$ y asimismo otros computación y luego multiplicándolos. Pero no ayuda.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Tenga en cuenta que a más de uno de los tres factores es negativo. Por ejemplo si $$a-1+\frac1b

Si exactamente uno de los factores es negativo, entonces el producto es negativo y hemos terminado. Así que asumir todos los factores son positivos. Tenemos $$\left(a-1+\frac1b\right)\left(b-1+\frac1c\right)=ab-a+\frac ac-b+1-\frac1c+1-\frac1b+\frac1{bc}.$$ Using $ab=\frac1c$ and $\frac1{bc}=a$ this simplifies to $$\left(a-1+\frac1b\right)\left(b-1+\frac1c\right)=\frac ac-b-\frac1b+2\le \frac ac$$ since $b+\frac1b\geq 2$. Analogously we obtain $$\left(b-1+\frac1c\right)\left(c-1+\frac1a\right)\le \frac ba$$ and $$\left(c-1+\frac1a\right)\left(a-1+\frac1b\right)\le \frac cb.$$ The result follows by multiplying the three inequalities above. Equality holds if and only if $ a = b = c = 1$.