¿Qué es esta notación? $V(\Bbb Z/p\Bbb Z)$

Question

Estoy tratando de escribir un post en el blog, y me he topado con una piedra de tropiezo con la notación.

Es $V(\Bbb Z/p\Bbb Z)$ una notación estándar en la teoría algebraica de números? Qué significa una variedad restringida a los enteros mod $p$? Si no, ¿qué significa / que podría significar en este contexto?

Contexto: "yo asistí a una conferencia recientemente en una Fuerte Aproximación en la teoría de números. El conferenciante comenzó a hablar acerca de Markoff de la superficie de la $$x^2+y^2+z^2-3xyz=0,$$ y nos contó acerca de un grupo de $\Gamma$ que genera la integral de las soluciones de esta ecuación. Entonces hizo una conjetura, que no parece estar ligada a Markoff de la superficie, en particular:

• Conjetura: la acción de La $\Gamma$ $X(\Bbb Z_p)$ tiene exactamente dos órbitas, uno de los cuales es $\{0\}$.

Después de cavar a su alrededor en línea, he encontrado notas para otra charla que él le había dado. En la página 12, que él define $X^*(p)=V(\Bbb Z/p\Bbb Z)\smallsetminus\{0\}$, así que estoy asumiendo mi $X$ es que el $X^*$, pero con $\{0\}$ incluido.

Él define "$V$" como el cierre de Zariski de una órbita $O\subseteq \Bbb Z^n$ en la página 3, pero no estoy seguro de que es el mismo $V$.

Answer 1

Esta es la notación común en la geometría algebraica. Tengo dos esquemas $X,T$ con estructura de morfismos a otro esquema de $S$, y ahora se $X(T)$ es el conjunto de $S$-morfismos $T \to X$. Al $T$ es el espectro de algunos ring $R$ por lo general acaba de escribir $X(R)$.

En esta situación, $S = \mathbb Z$ (que realmente podría haber dejado este poco por aquí, ya que el anillo de homomorphisms siempre el respeto a $\mathbb Z$), \[ X = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[x,y,z]/(x^2+y^2+z^2-3xyz), \] y $T = \operatorname{Spec} \mathbb Z_p$. Ya que todo es afín, morfismos $T \to X$ corresponden a anillo homomorphisms \[ \mathbb{Z}[x,y,z]/(x^2+y^2+z^2-3xyz) \to \mathbb Z_p; \] en otras palabras, las soluciones de $(x,y,z)$ a la ecuación en $\mathbb Z_p$. Hemos dicho esto en un complicado camino en el uso de Grothendieck del functorial idioma, pero sí quiero señalar (a) como es natural, esto es (b) de lo bonito que es tener un objeto geométrico como $X$ que ya "sabe" cómo su definición de ecuaciones puede ser resuelto, en el sentido de que el esquema de $X$ y la colección de todos los $X(T)$ determinar cada uno de los otros.