Probé que para los subespacios$U_i$ de$V$ se cumple la desigualdad$\mathrm{dim}(U_1 + ...+U_m) \le \mathrm{dim}(U_1) + ... + \mathrm{dim}(U_m)$.
Lo probé de la siguiente manera (por favor, dígame si mi prueba es correcta): para dos subespacios$U,W$, sabemos que$\mathrm{dim}(U+W) = \mathrm{dim}U + \mathrm{dim}W - \mathrm{dim}(U \cap W)$ para que el reclamo sea verdadero para dos subespacios. Luego sigue el reclamo porque$U_1 + ... + U_{m-1}$ y$U_m$ son dos subespacios, por lo tanto,$\mathrm{dim}(U_1 + ...+U_{m}) \le \mathrm{dim}(U_1 + ...+U_{m-1}) + \mathrm{dim}(U_m)$. Aplica el argumento nuevamente para obtener$ \mathrm{dim}(U_1 + ...+U_{m-1}) \le \mathrm{dim}(U_1 + ...+U_{m-2}) + \mathrm{dim}U_{m-1}$. Aplique el argumento$m$ - times para obtener la desigualdad deseada.
