Si una función sobre un espacio producto es continua en cada variable, ¿está acotada localmente?

Question

Dejemos que $f : \mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R$ ser continua cuando fijamos una variable. Entonces $f$ no tiene por qué ser continua (véase, por ejemplo, la Funciones continuas en cada variable ).

¿Implica esto que $f$ está acotado localmente?

Me sorprendería, pero no se me ocurre inmediatamente un contraejemplo.

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Contexto: Estoy interesado en $f : \mathbb R \times \mathbb C \to \mathbb C$ que son continuas en la primera y analíticas en la segunda variable. En este caso, la fórmula integral de Cauchy + convergencia dominada nos dice que localmente acotada implica conjuntamente continua.

Answer 1

$f(x,y)=\frac {xy} {x^{3}+y^{3}}$ si $(x,y) \neq (0,0)$ , $0$ si $(x,y) = (0,0)$ . Tenga en cuenta que $f(x,x)$ no está acotado cerca de $0$ .

Answer 2

Podemos demostrar que, para $K \subseteq \mathbb R$ compacto y $U \subseteq \mathbb R$ abierto, existe $V \subseteq U$ abierto tal que $f : K \times V \to \mathbb R$ está acotado. Es decir, globalmente en una variable y localmente en la otra (pero no tenemos control sobre $V$ ).

En particular, existe un conjunto abierto denso $V \subseteq \mathbb R$ tal que $f : K \times V \to \mathbb R$ está acotado localmente.

Se deduce aplicando el teorema de la categoría Baire a los conjuntos cerrados $$\Omega_B = \{ y \in U : \forall x \in K : |f(x, y)| \leq B \}$$

Utilizamos la continuidad en la segunda variable para tener que el $\Omega_B$ son cerrados, y en la primera variable tener que su unión es $U$ . Encontré el argumento al final de la página 2 aquí: http://www-users.math.umn.edu/~garrett/m/complex/hartogs.pdf