Como ya he comentado, la prueba de Normalidad Teorema de la Base no es muy duro. Por favor, comentar que me preguntas sobre la prueba.
Como para el ejercicio, el "suficiente raíces de la unidad" condición simplifica la prueba de este problema. En esta prueba, evite el uso de la Normal Teorema de la Base.
Deje $n=|G|$ y asumir que $F$ contiene una primitiva $n$-ésima raíz de la unidad (que debería ser más precisa declaración acerca de no tener suficiente raíces de la unidad). Con respecto a $g\in G$ $F$- lineal endomorfismo en $K$. Desde $g^n=1$, el polinomio mínimo de a $g$ divide $X^n-1 \in F[X]$. Es fácil ver que si $g=1$$\chi(1)=|G|=n$.
Así, asumimos $g\neq 1$. Deje $1<d|n$ ser el orden de $g$$G$. A continuación, $g^d=1$ y cualquier autovalor de a $g$ debe ser un $d$-ésima raíz de la unidad. Desde distintas campo homomorphisms $1,g,\ldots, g^{d-1}$ son linealmente independientes sobre $F$, se deduce que el $X^d-1\in F[X]$ es el polinomio mínimo de a $g$. Desde $F$ contiene $n$-th raíces de la unidad, podemos suponer que la $g$ es diagonalizable sobre $F$. Por otra parte, la matriz diagonal $D_g$ correspondiente a $g$ todos los $d$-th raíces de la unidad que aparece en las entradas de su diagonal.
Por la teoría de Galois, el campo de $K^g=\{x\in K| gx=x\}$ es un subcampo de la $K$ con grado de extensión de la $n/d$$F$. Entonces hay una base $\{y_1,\ldots, y_{n/d}\}$$K^g$$F$. Para cada una de las $d$-ésima raíz de la unidad $\zeta$, tomar un autovector $x\in K$$g$, de modo que $g x= \zeta x$. A continuación,$\{xy_1, \ldots, xy_{n/d}\}$, forma un conjunto de $n/d$ linealmente independiente de vectores propios. Por lo tanto, cada una de las $d$-ésima raíz de la unidad aparece en exactamente $n/d$ las entradas de la diagonal de a $D_g$, y de ello se sigue que $(X^d-1)^{n/d}$ es el polinomio característico de a $g$. Dado que el coeficiente de $X^{n-1}$ $(X^d-1)^{n/d}$ es cero, tenemos $\mathrm{tr}(g)=0$.
Por lo tanto, el carácter de la representación es la de regular la representación.
