Calcula

Question

Estoy tratando de calcular esto

$$ \int_{0}^{\pi/4}\ln(1-\sqrt[n]{\tan x})\frac {\mathrm dx}{\cos^2(x)}, \qquad (n\ge1). $$

Una transformación de $I$ utilizar un sub de $u=1-\sqrt[n]{\tan x}$

\begin{align} I&=\int{0}^{\pi/4}\frac{\sec^2(x)}{n\sqrt[n]{\tan x}}\cdot n\sqrt[n]{\tan x}\cdot\ln(1-\sqrt[n]{\tan x})\,\mathrm dx \[6px] &\qquad\mathrm dx=-\frac{n\sqrt[n]{\tan x}}{\sec^2(x)}\,\mathrm du \[6px] I&=n\int{0}^{1}(1-u)^{n-1}\ln u \,\mathrm du \end {Alinee el}

Esto puede hacerse fácilmente por integración por partes, pero parece que shruggle en algún lugar en la evaluación,

$$ \int(1-u) ^ du de \,\mathrm u \ln {n-1} = n (1-u) ^ n\ln u-\frac {1} {n ^ 2} \int \frac {(1-u) ^ n} du \,\mathrm de {u} $$

Answer 1

Con $u=1-\sqrt[n]{\tan x}$, obtenemos $$ \tan x=(1-u)^n $$ así $$ \frac{1}{\cos^2x}\,dx=-n(1-u)^{n-1}\,du $$ Por lo tanto la integral se convierte en $$ \int_1^0 -n(1-u)^{n-1}\ln u\,du= \int_0^1 n(1-u)^{n-1}\ln u\,du $$ La integración por partes: $$ -(1-u)^n\ln u+\int\frac{(1-u)^n}{u}\,du $$ Tenemos $$ \frac{(1-u)^n}{u}=\frac{1}{u}\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}u^k $$ así que $$ \int\frac{(1-u)^n}{u}\,du= \ln u+\sum_{k=1}^n(-1)^k\binom{n}{k}\frac{u^k}{k} $$ Por lo tanto una antiderivada puede ser escrito como $$ (1-(1-u)^n)\ln u+\sum_{k=1}^n(-1)^k\binom{n}{k}\frac{u^k}{k} $$ El valor en $1$ es $$ \sum_{k=1}^n(-1)^k\binom{n}{k}\frac{1}{k} $$ El valor en $0$ (en realidad el límite) es $0$.

No trate y evaluar de forma prematura la integración por partes, porque la parte $-(1-u)^n\ln u$ no convergen en $0$.

Answer 2

Su integral está dada por la negativa de la $n$-ésimo número armónico: %#% $ de #% puede utilizar la sustitución $$ I_n \equiv n \int \limits_0^1 (1-u)^{n-1} \ln (u) \, \mathrm{d} u = - Hn = - \sum \limits{k=1}^n \frac{1}{k} \, . $ y luego echar un vistazo a esta pregunta para una derivación. Aquí está una ruta alternativa: utilizar el antiderivative $u = 1-t$ $\frac{t^n - 1}{n}$ para integrar por partes directamente:\begin{align} I_n &= n \int \limits_0^1 t^{n-1} \ln (1-t) \, \mathrm{d} t = - \int \limits0^1 \frac{1-t^n}{1-t} \, \mathrm{d} t = - \sum \limits{k=0}^{n-1} \int \limits0^1 t^k \, \mathrm{d} t = -\sum \limits{k=0}^{n-1} \frac{1}{k+1} = - H_n \, . \end {Alinee el}