De modo que yo pueda utilizar algunas 3D identidades aquí, vamos a $\mathbf u=(u_1,u_2,0)=(u;0)$ ser una velocidad en 3D, que no depende de $x_3$,
$$\mathbf u(x_1,x_2,x_3) = (u_1(x_1,x_2), u_2(x_1,x_2),0).$$ Define $\mathbf w:=\nabla\times \mathbf u = (0,0,\omega)$. In this answer, I reserve the notation $\nabla\times$ for the vector valued 3D curl, and the notation $\nabla^\asesino\cdot:=(-\partial_2,\partial_1)\cdot$ for the scalar 2D curl. The choice of $\nabla = (\partial_1,\partial_2,\partial_3)$ or $(\partial_1,\partial_2)$ es claro en el contexto.
A partir de la Leray proyector $\mathbb P v = v + \nabla (-\Delta)^{-1} (\nabla \cdot v)$ podemos escribir
$$\mathbb P(u\cdot \nabla u) = u\cdot \nabla u +\nabla (-\Delta)^{-1} (\nabla \cdot (u\cdot \nabla u))$$
Y queremos aprovechar la curvatura de la misma. Así, la primera buena noticia es que curl aniquila degradados, por lo que ninguno de los que desordenado segundo término para nosotros aquí. Ya que estamos tratando de volver a escribir esto en términos de la vorticidad, la siguiente identidad de ese enlace de Wikipedia es útil-
$$\mathbf u\cdot \nabla\mathbf u = \frac12 \nabla |\mathbf u|^2 - \mathbf u\times \mathbf w $$
Observe que $$-\mathbf u\times \mathbf w = \omega(- u_2,u_1,0) =: \omega (u^\perp;0).$$
Aquí un vector $U\in \mathbb R^2$ tiene su perpendicular $U^\perp := (-U_2,U_1)$. Así que, expresado en términos de $u$,,
$$u\cdot\nabla u = \frac12\nabla|u|^2 + \omega u^\perp \tag{*}\label{*} $$
Somos afortunados de nuevo que $\nabla^\perp\cdot \nabla = 0$, por lo que, al tomar el 2D curl,
$$\nabla^\perp \cdot (u\cdot \nabla u) = \nabla\times(\omega u^\perp) = \nabla^\perp \cdot( \omega u^\perp) = \nabla\cdot(\omega u)$$
Así lo hemos comprobado: $\nabla^\perp\cdot \mathbb P(u\cdot \nabla u) = \nabla\cdot(\omega u)$. Para concluir, recordar el Biot-Savart ley en 2D, que nos permite recuperar la velocidad de la vorticidad con una integral de convolución.
Una rápida observación para ver cómo se obtiene $S$: Recordar que $$-\nabla^\perp (\nabla^\perp\cdot U) = - \Delta U + \nabla (\nabla\cdot U) \tag{**}\label{**}. $$
De la divergencia campos libres $u$, esto nos dice $u= -(-\Delta)^{-1}(\nabla^\perp \omega)$. El kernel $S$ se obtiene (con cuidado) la transferencia de la derivada (con cuidado) $\nabla^\perp$ sobre el Verde de la función a través de la integración por partes.
PS - este libro de Majda Y Bertozzi, es un gran libro.
\eqref{*} o, Alternativamente, se puede evitar hablar de vectores 3D mediante la comprobación de esta identidad, directamente, que se sigue de
$$ u\cdot\nabla u = \begin{pmatrix}\color{red}{u_1\partial_1 u_1} + u_2\partial_2 u_1\\ u_1\partial_1u_2 + \color{red}{u_2\partial_2 u_2} \end{pmatrix}, \quad \frac12\nabla |u|^2 = \begin{pmatrix}\color{red}{u_1\partial_1 u_1} + u_2\partial_1 u_2\\ u_1\partial_2u_1 + \color{red}{u_2\partial_2 u_2} \end{pmatrix}$$
\eqref{**} de Hecho,
$$ \nabla (\nabla\cdot U) =
\begin{pmatrix}
\partial_1\partial_1 U_1 + \partial_1\partial_2 U_2 \\
\partial_2\partial_1 U_1 + \partial_2\partial_2 U_2 \end{pmatrix}$$
y por la sustitución de $(\partial_1,\partial_2)$$(-\partial_2,\partial_1)$,
$$ \nabla^\asesino (\nabla^\asesino \cdot U) = \begin{pmatrix} \partial_2\partial_2 U_1 - \partial_1\partial_2 U_2 \\
-\partial_2\partial_1 U_1 + \partial_1\partial_1 U_2 \end{pmatrix}$$
Como alternativa, se puede utilizar$\nabla\times(\nabla\times \mathbf U) = -\Delta \mathbf U + \nabla(\nabla\cdot \mathbf U)$$\mathbf U(x_1,x_2,x_3) = (U(x_1,x_2);0)$.
