Para el verdadero vector haces el argumento es el siguiente: elegir una métrica en el paquete (es decir, una variación continua de la métrica en las fibras, que existe si la base de que el espacio es paracompact), y el mapa de un vector $v$$\langle v, \cdot \rangle$, que es una iso (si las fibras son finito-dimensional). Bajo la misma hipótesis (paracompactness, de dimensión finita), la elección de un hermitian métrica en un complejo de vectores $E$ paquete rinde un isomorfismo $E \simeq \overline{E}^*$, el vector paquete cuyas fibras son los complejos conjugados de las fibras de los dos (en otras palabras, cada fibra consiste en el espacio de todos los antilinear mapas de $E_x \to \mathbb{C}$): si el hermitian métrica es lineal en el primer argumento y antilinear en el segundo, $v \mapsto \langle v, \cdot \rangle$ es la iso (aviso tratando de hacer lo mismo en la otra coordenada, $\langle \cdot, v \rangle$ da un bijection entre el$E$$E^*$, pero esto es fiberwise antilinear, no lineal, de manera que no se trata de un isomorfismo!).
Lo que yo no entiendo es por qué esta construcción no puede ser llevado a cabo para demostrar $E \simeq E^*$, donde en lugar de elegir un hermitian métrica, uno elige una forma continua parametrizadas bilineal no degenerada forma (que puede ser visto a existir como en el real o hermitian caso, el uso de particiones de la unidad) y definir la iso como en el caso real.
Hay ejemplos concretos de vector complejo paquetes que no son isomorfos a sus duales, como la tautológica de la línea de paquete sobre la esfera de Riemann. Entonces, ¿qué me estoy perdiendo?
Muchas gracias por cualquier ayuda.
