Soluciones infinitas de la ecuación de Pell $x^{2} - dy^{2} = 1$

Question

Dejemos que $d > 1$ sea un entero libre de cuadrados. Demostrar que la ecuación $x^{2} - dy^{2} = 1$ tiene infinitas soluciones en $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ .

Lo que he hecho: dejar $ \ \mathbb{K} = \mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ . Si $ d \not\equiv 1$ mod $4$ entonces $O_{\mathbb{K}} = \mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ y la afirmación se sigue por el Teorema de la Unidad de Dirichlet. ¿Qué pasa con el caso $ d \equiv 1 $ mod $4$ ?

Answer 1

Esto se conoce como la ecuación de Pell. Como se explica en el Artículo de Wikipedia uno de los convergentes de $\sqrt{d}$ (una de las aproximaciones racionales del número irracional $\sqrt{d}$ encontrada al truncar la expansión de la fracción continua) es una solución de la ecuación. A partir de esta solución se pueden encontrar todas las demás soluciones; la forma en que se generan estas soluciones demuestra que, efectivamente, hay infinitas.

Answer 2

Usted puede manejar el caso $d\equiv 1 \pmod{4}$ de la misma manera. Para cualquier unidad $u$ , $u^6=a+b\sqrt{d}$ con $a,b\in\mathbb Z$ y $a^2-db^2=1$ , entonces la infinitud se deduce del Teorema de la Unidad de Dirichlet.

Si $u$ es una unidad, entonces $u^2=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\sqrt{d}$ con $\alpha,\beta\in \mathbb Z$ , $\alpha \equiv \beta \pmod{2}$ (por definición de $O_{\mathbb K}$ ) y $$ N(u^2)=\frac{\alpha^2}{4}-\frac{d\beta^2}{4}=1 $$ Entonces, o bien:

Caso 1 $\alpha\equiv\beta\equiv 0 \pmod{2}$ . Entonces $\frac{\alpha}{2},\frac{\beta}{2}\in\mathbb Z$ y se deduce de la multiplicación en $\mathbb K$ que $\exists a,b\in \mathbb Z$ con $u^6 =a+b\sqrt{d}$ .

Caso 2 $\alpha\equiv\beta\equiv 1 \pmod{2}$ . Desde $\alpha^2-d\beta^2=4$ y $\alpha^2\equiv\beta^2\equiv 1 \pmod{8}$ este caso no puede surgir a menos que $d\equiv 5\pmod{8}$ . Entonces $$ u^6 = \frac{1}{8}\left(\alpha(\alpha^2+3d\beta^2)+\beta(3\alpha^2+d\beta^2)\sqrt{d}\right) \\ \alpha^2+3d\beta^2\equiv 3\alpha^2+d\beta^2\equiv 0 \pmod{8} \\ a=\frac{\alpha(\alpha^2+3d\beta^2)}{8},b=\frac{\beta(3\alpha^2+d\beta^2)}{8} $$ y $a,b\in\mathbb Z$ .

Answer 3

Si x resuelve $x^2-4 = dy^2$ entonces también lo hace $x^2-2$

Poner $(x^2-2)^2 = x^2 - 4x + 4$ que es $d(xy)^2 + 4$

Dividiendo $x$ , $y$ por $2$ dará esta ecuación en unidades.

Ahora bien, si $x'$ y $x''$ son soluciones consecutivas, entonces $x x'' - x'$ también es una solución. Poner

Ya que tenemos $2$ y $x$ da $x^2-2$ se deduce entonces que $x_{n+1} = x x_n - x_{n-1}$ os también una solución, por

$x_{n+1} + x_{n-1} = x x_n$

Se demuestra que por esta disposición bastante exótica, que si dos valores resuelven esta ecuación, entonces el tercero también lo hace, y por lo tanto que esta serie es recursiva sobre potencias de $x$ .

Supongamos que $a, b, c, d$ forman una serie tal que $xb = a+c$ . Entonces la medida $b^2 - ac$ es una constante, ya que $d = xc-b$ .

Ahora, $c^2 - bd = c^2 - xcb + b^2 = (c-xb)c + b^2 = b^2-ac$

Así, si eg $2, x, x-2, x^3-3x$ formar una serie de este tipo basada en esta solución