¿La eliminación existencial afecta a la posibilidad de hacer una introducción universal?

Question

En el ejercicio 1 de http://cnx.org/content/m10774/latest/ dice que no se puede hacer la introducción universal en

1   y:(x:(R(x,y)))    Premise
2   x:(R(x,q))         Elim, line 1
3   R(p,q)              Elim, line 2
4   y:(R(p,y))         Intro, line 3

porque la eliminación existencial introduce la variable proxy p que podría depender de la variable arbitraria q y, por tanto, q podría dejar de ser arbitraria.

¿Tiene esto sentido? Si es así, ¿podría dar ejemplos de cuándo es el caso?

Answer 1

Tomar el universo como los números reales $R(x,y)$ para significar " $x\lt y$ ". Entonces la presmisa dice que para cada número real $y$ hay un número real $x$ que es estrictamente menor que $y$ . Esto es cierto.

La línea dos elimina el cuantificador universal, y dice que hay un número real $x$ que es menor que $q$ ( $q$ un número real no especificado, pero fijo). Esto sigue siendo cierto, independientemente de lo que $q$ es. Diga $q=1$ .

La línea 3 elimina el existencial seleccionando un $p$ que es menor que $q$ . Esto sigue siendo cierto; digamos, $p=0$ .

La línea 4 es ahora falsa: diría "para cada número real $y$ , $0\lt y$ . Esto no es válido.

El problema es que el $p$ introducido en línea $3$ puede depender del $q$ introducido en la línea 2; no es arbitrario e independiente, por lo que cuando se intenta introducir el cuantificador universal en lugar de $q$ , estás afectando implícitamente a $p$ también.

Answer 2

Introducimos un poco de romance. Deja que $R(x,y)$ significa que $x$ ama $y$ . Y partamos de la base de que, como dice la vieja canción, todo el mundo tiene alguien que le quiere (es la primera línea). En realidad, podemos ser poco románticos y no creérnoslo del todo, ya que sólo deducimos consecuencias de ello.

Tome un individuo en particular $q$ . La segunda línea dice que alguien ama $q$ . Esto se deduce claramente de la primera línea.

Llama a una de las personas que ama $q$ por el nombre $p$ . Eso nos da la tercera línea.

En $p$ (La cuarta línea afirma que lo hace). Es posible, pero bastante improbable. De todos modos, no es ciertamente deducible del hecho de que $p$ ama $q$ .

O si el romance no es su estilo, ¿qué tal la biología? Deje que $R(x,y)$ significa que $x$ es la madre de $y$ . La primera línea dice que todo el mundo tiene una madre. En las siguientes líneas se intenta deducir las consecuencias.

La segunda y la tercera línea siguen fácilmente, como en el caso de los "amores". Así que $p$ es la madre de $q$ . Seguramente no podemos deducir en la cuarta línea que $p$ es la madre de todos.