Si$R$ es un dominio integral, entonces$R[[x]]$ es un dominio integral

Question

Mientras que la solución de otro problema (específicamente el Ejercicio 7.2 en Atiyah & Macdonald Introducción al Álgebra Conmutativa), me quedé atrapado en el siguiente paso:

Si $R$ es una parte integral de dominio, ¿cómo puedo demostrar que $R[[x]]$ es un integral de dominio?

Aquí $R[[x]]$ es el conjunto de todos formal de la serie en $x$ con coeficientes en $R$. Tan típico elemento de $R[[x]]$ tendría la forma $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$ donde $a_i\in R$.

Así que tengo que probar que si $$ (a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots)(b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots)=0 $$ a continuación, $a_i=0$ $b_i=0$ todos los $i\ge 0$. Ahora, yo no soy particularmente aficionado a la apertura de los paréntesis :( hay alguna mancha manera de demostrar esto?

Answer 1

Como$(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots)(b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots)=0$, el término de grado$0$ debe ser cero. Por lo tanto, el coeficiente constante$a_0b_0=0$, asume$b_0 \ne 0$. Entonces$a_0=0$ y el$x$ coeficiente es$a_1b_0$ so$a_1=0$. Ahora intenta encontrar alguna inducción fuerte para mostrar para cualquier$n$,$a_n=0$.

Answer 2

Tenga en cuenta que solo tenemos que demostrar que si$b_i$ no son todos$0$, entonces$a_i$ son todos$0$.

Solo usa inducción. Primero, permita que$m$ sea mínimo con$b_m\ne 0$, de modo que$a_0=0$ observe el coeficiente de$x^m$ en el producto. Luego, suponga que$a_k=0$ para todos$k=0,\ldots,n$, y observe que el coeficiente de$x^{m+n+1}$ en el producto es$a_{n+1}b_m$. Como$b_m\ne 0$, se deduce que$a_{n+1}=0$.