Alguien podría ayudarme con este problema. Es un problema que me hizo un amigo y la verdad no se como resolverlo.
Si en la siguiente figura los segmentos de longitud $h_i$ son perpendiculares a la base BC del triángulo rectángulo ABC y los segmentos de longitud $d_i$ son perpendiculares a AC.
Que es el valor de $\,\,\,\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}h_i}$ ?
Toma, $d_1=h_1\sin A$ et $h_2=d_1\sin A\implies h_2=h_1\sin^2 A$ .
Siguiendo de manera similar, $h_3=h_2\sin^2A=h_1\sin^4A$ .
Así $$\sum_{n=1}^{\infty}h_n=h_1(1+\sin^2A+\sin^4A+\cdots)=h_1\cdot \frac{1}{1-\sin^2 A}=h_1\cdot\frac{1}{\cos^2 A}=h_1 \cdot \sec^2 A$$ Se trata de una serie geométrica con razón común= $\sin^2 A<1$ .
Si $\theta$ es el ángulo en $C$ entonces también es el ángulo entre $AB$ et $d_1$ :
$$d_1=h_1\cos\theta$$ Del mismo modo, como también es el ángulo entre $d_1$ et $h_2$ tenemos $$h_2=d_1\cos\theta$$ Así que para pasar de una línea a la siguiente se multiplica por $\cos\theta$ . Pasar de $h_{n}$ a $h_{n+1}$ multiplicamos por $\cos^2\theta$ . Establece la serie geométrica y resuélvela.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
