Polinomio característico de $T:M_n(\mathbb{F}) \rightarrow M_n(\mathbb{F}) ,\ \ TX = AX \ \ (A\in M_n(\mathbb{F}))$

Question

Pregunta - ¿cómo sería proceder para encontrar el polinomio característico de $T:M_n(\mathbb{F}) \rightarrow M_n(\mathbb{F}) ,\ \ TX = AX \ \ (A\in M_n(\mathbb{F}))$?

Lo que he estado tratando:

Dado el la base estándar ${E{11}, E{12}, \dots, E_{nn}}$ $Mn(\mathbb{F})$ en que ($E {ij}) _ {kl} =\left{\begin{matrix} 1,& k=i \ \ and \ \ l=j \ 0, &otherwise \end{matrix}\right.$

$T$ puede representarse por la siguiente matriz de $n^2\times n^2$: $$[T] = \begin{pmatrix}(A)_{11}In&(A){12}In&\cdots&(A){1n}In\(A){11}In&(A){12}In&\cdots&(A){1n}In\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\(A){n1}In&(A){n2}In&\cdots&(A){nn}I_n\end{pmatrix} $ $

Ahora, desde aquí me gustaría calcular $det([T]-tI_{n^2})$, y este es el punto donde me quedé pegado.

Le espera para ideas sobre cómo proceder de aquí, o ideas para conocer otras maneras de abordar el problema.

Answer 1

Si tiene $(AE{i,j}){k,l}= 0$ $l\neq j$ y $a{ki}$ si $l=j$. Por lo tanto, si se considera la base $(E{11}, E{21}, ..., E{n1}, E{12}, ... , E{n2}, ... , E{1n}, ... , E{nn})$ $M_n(\mathbb{F})$, entonces estás pueda computar el determinante de una matriz diagonal del bloque de tamaño $n^2\times n^2$, cuya $n$ son todos iguales al $A-XI_n$. Esto le da que $\chi_T(X)=\chi_A(X)^n$.