Por qué

Question

El gradiente de deformación $\mathbf F$ describe cómo el material de la línea de los elementos de cambio y de la longitud de la orientación durante la deformación; la velocidad de gradiente $\mathbf L$ describe la velocidad de estos cambios.

Podemos escribir $\mathbf L=\mathbf D+\mathbf W$ donde $\mathbf D=(\mathbf L+\mathbf L^T)/2$ (por lo tanto simétrica) y $\mathbf W=(\mathbf L-\mathbf L^T)/2$ (por lo tanto skewsymmetric).

En palabras, $\mathbf D$ es la Euleriano la cepa de la tasa de tensor y $\mathbf W$ es el cuerpo de la vuelta.

Ahora supongamos $\mathbf n$ es una unidad de campo vectorial.

Tenemos $\mathbf n\cdot(\mathbf L^T\mathbf n)=\mathbf n\cdot(\mathbf D^T\mathbf n)+\mathbf n\cdot(\mathbf W^T\mathbf n)=\mathbf n\cdot[(\mathbf D^T+\mathbf W^T)\mathbf n]=\mathbf n\cdot(\mathbf D\mathbf n)$.

Pero no entiendo por que la última ecuación es verdadera.

Agradecería cualquier ayuda o sugerencia. Gracias.

Answer 1

Es porque$\mathbf W$ es sesgado simétrico:

$\mathbf n·\mathbf W^T\mathbf n=-\mathbf n·\mathbf W^T\mathbf n=0$

Pero$\mathbf D$ es simétrico, por lo que$\mathbf D=\mathbf D^T$, y sigue.

Adicional

ps

Y porque skew simétrico

ps

Con $$\mathbf m·\mathbf W^T\mathbf n=\mathbf n·\mathbf W\mathbf m$,$$ \mathbf n·\mathbf W\mathbf m=-\mathbf n·\mathbf W^T\mathbf m$