Teorema Central del Límite implica la Ley de los Grandes Números?

Question

Deje $X_i$ ser variables aleatorias iid y deje $\overline{X}_n=(X_1+\cdots+X_n)/n$. Si $EX_i=\mu$$\operatorname{Var}X_i = \sigma^2$, entonces el teorema del límite central dice que con algunas condiciones que hemos convergencia en algún sentido

$$\frac{\overline{X}_n -\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\to N(0,1)$$

Por otro lado, la ley de los grandes números dice que si $X_i$ son variables aleatorias iid con $EX_i=\mu$, luego

$$\lim_{n\to\infty}P(|\overline{X}_n-\mu|<\epsilon)=1$$

Puede el teorema del límite central se utiliza para probar una forma de la ley de los grandes números? (obviamente, debilitado ya que tendría el supuesto de la existencia de $\operatorname{Var} X_i$). Desde que nos esperan $\frac{\overline{X}_n -\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ a parecerse a $N(0,1)$ grandes $n$, no debemos esperar a $\overline{X}_n -\mu$ a parecerse a $N(0,\sigma^2/n)$. Entonces la varianza de $\overline{X}_n -\mu$ $\sigma^2/n$ significa que la varianza se está convirtiendo en muy pequeñas y $\overline{X}_n -\mu$ se centra en torno a $0$ y algo así como la ley de los grandes números deben tener.

Answer 1

Este argumento funciona, pero en un sentido que es una exageración. Usted tiene una varianza finita $\sigma^2$ para cada observación, por lo $\operatorname{var}\left(\overline{X}_n\right)=\sigma^2/n$. La desigualdad de Chebyshev le dice que $$ \Pr\left(\left|\overline{X}_n - \mu\right|>\varepsilon\right) \le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2 n} \0\text{ como }n\to\infty. $$ Y la desigualdad de Chebyshev de la siguiente manera rápida de Markov en la desigualdad, que es muy fácil de probar.

Pero la prueba del teorema del límite central toma mucho más trabajo.

Answer 2

Aquí es elemental argumento que demuestra que el teorema del límite central (CLT) - que en realidad es algo más débil dijo a continuación -, implica que el asociado débil de la ley de los grandes números.

Suponga que el siguiente tiene

$W_{n}:= \sqrt{n} (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i} - \mu) \Rightarrow W$.

donde $\Rightarrow$ denota la convergencia en la distribución de algunos de distribución (si la CT es asumido, a continuación, $W$ se distribuye como una normal r.v.). Por Slutsky del Teorema de los de arriba da $n^{-1/2} W_{n} \Rightarrow 0$, siempre que $W$ es casi sin duda finitos. Por supuesto, la convergencia en distribución a una constante se sabe que implica la convergencia en probabilidad, por lo que usted puede recuperar los débiles ley de los grandes números de la CT.

La idea es que la CLT indica el factor de escala para "inflar" las oscilaciones alrededor de la media. Espero que esto ayude!