Para una función que está en todas partes derecha-diferenciable, ¿qué se puede decir acerca de la existencia de puntos donde es diferenciable?

Question

Sabemos que una función que es correcta-diferenciable en todas partes también es continua casi-en todas partes, pero ¿qué hay de la diferenciabilidad? Por ejemplo, ¿hay una función que esté en todas las partes derecha, diferenciable pero no diferenciable?

Además, qué sucede si debilitamos la suposición y decimos que una función es correcta, diferenciable en todas partes excepto en un conjunto contable. ¿Qué tan pequeño puede ser el conjunto de puntos donde no es diferenciable?

Answer 1

Si $f$ está en todas partes a la derecha-diferenciable, entonces el lado derecho derivado de los números de $\Lambda_r,\lambda_r$ son iguales y finito en cada una de las $x$. Estos dos derivados de los números se definen respectivamente como el lim sup y lim inf de $(f(x+h)-f(x))/h$ $h \to 0^+.$ No se define de forma similar lado izquierdo derivados de los números de $\Lambda_l,\lambda_l,$ y el Denjoy-Joven-Saks Teorema se relaciona con estos para funciones arbitrarias. De acuerdo con el teorema, salvo un conjunto de medida cero dos asociados (mismo lado) que se derivan los números son iguales y finito o desigual, con al menos uno infinito, mientras que los dos opuestos (lado opuesto) que se derivan los números están bien finita e igual o infinito y desigual.

Con nuestra hipótesis de los dos lado derecho derivado de los números son iguales y finito en todas partes. La aplicación de lo que el teorema dice acerca de la oposición derivados de los números, el de la izquierda derivados de los números de cada uno de igual valor común del lado derecho derivado de los números. (No tenemos ni del lado derecho derivado número infinito). Así que los cuatro derivados números son iguales y $f$ es diferenciable (salvo un conjunto de medida cero).

Fuente para el Teorema: el Análisis Funcional, Riesz y Sz-Nagy, pp17-19

Hay una página de la wiki para el teorema, con diferentes notación para la derivada de los números, aquí

Nota agregada: no tenía cuidado acerca de lo que el término "oposición", derivada de los números de los medios, ya que para este problema es que no hizo ninguna diferencia. Lim sup en un lado se considera que está "en contra de" sólo para la lim inf en el otro. El ejemplo de $f(x)=x$ racional, $x$ else $2x$ para irracional $x$ muestra que tenemos que considerar la "oposición" como se acaba de mencionar. En un valor distinto de cero racional $x$ tenemos $\lambda_r=\Lambda_l=1$ mientras $\Lambda_r=+\infty$ $\lambda_l=-\infty.$ El mismo tipo de cosa que se produce en irracional $x$ finitos coincidiendo valor de $2.$ $x=0$ sólo tenemos los pares de opuestos desigual, una es $1$ y la otra es $2,$, por lo que para esta función $0$ es en el conjunto de medida cero para que el conjunto de posibilidades de la que se derivan los números no tienen.

Sobre el debilitamiento de la condición: yo creo que si nos acaba de asumir el derecho derivado de la $f$ existe en casi todas partes, el argumento de arriba pasa a través de y se puede concluir $f$ es derivable en casi todas partes. Uno de ellos es sólo de tirar de un conjunto de medida cero, para empezar, y luego el de arriba se puede aplicar a la parte restante de la línea real.

Una cosa interesante sería suponer que sólo el derecho derivado de la $f$ existe en cada punto de un conjunto $A$ que es contable y denso en los reales. Entonces el teorema anterior no se aplica, pero parece difícil (para mí) para venir para arriba con un ejemplo en el cual $f$ no ser diferenciable, al menos en algún subconjunto denso $B$ $A.$