un sistema es invariante bajo traducción de cierta medida

Question

¿Asumir $A\in\mathbb{R}^n$ es un conjunto nulo de Lebesgue y $\mu$ es una medida de #%-finito positivo %#% en $\sigma$ (es decir, $A$) que \mu $$ (A + r) = \mu (A), \forall r\in\mathbb {R} ^ n $$ para ello implica que el $\mu(A^c)=0$?

Pienso en esto cuando estoy aprendiendo el teorema de Lebesgue-radón-Nikodym y la propiedad invariante bajo traducción de medida de Lebesgue. Creo que la respuesta es sí pero todavía necesita más justificación. ¡Agradecería cualquier sugerencia!

Answer 1

Gracias a Teorema de Fubini, tenemos $$ \mu (A) = \int_0^1 \mu(A+r)\,dr = \int0^1\int 1 {+ r} (y) \,d\mu (y) \,dr=\int \int0^1 1 {+ r} (y) \,dr\,d\mu (y) \leq \int \lambda(y-A)\,d\mu (y) = 0 , $$ $\lambda$ Dónde está la medida de Lebesgue. Aquí, utilicé ese $\lambda(y-A)=0$ desde $\lambda(A)=0$ (y por las propiedades elementales de la medida de Lebesgue).