Probar espacio métrico completo

Question

Denotar por $C^{\infty}(\mathbb{R})$ el espacio de infinitamente funciones diferenciables. Demostrar que $C^{\infty}(\mathbb{R})$ es un completo espacio métrico con respecto a la métrica $$d(f,g)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\|f^{(k)}-g^{(k)}\|_{[-k-1,k+1]}}{1+\|f^{(k)}-g^{(k)}\|_{[-k-1,k+1]}}\frac{1}{2^k}$$ The norm is defined as $\|h\|_K=\sup_{x \in K}{|h(x)|}$

Primero debo definir una secuencia de Cauchy, decir $d(f_n,f_m)<\epsilon$. Luego me fijo $k$, obtengo $$\frac{\|f^{(k)}-g^{(k)}\|_{[-k-1,k+1]}}{1+\|f^{(k)}-g^{(k)}\|_{[-k-1,k+1]}}\frac{1}{2^k}<\epsilon$$

Después de algunas manipulaciones, puedo obtener un $\|f_n^{(k)}-f_m^{(k)}\|_{[-k-1,k+1]}<\frac{\epsilon2^k}{1-\epsilon}$, lo que tiende a cero, como se $\epsilon$ puede hacerse arbitrariamente pequeña. Por lo tanto, $\{f_n^{(k)}\}_{n \geq 1}$ es una secuencia de Cauchy con la norma $\|.\|_{[-k-1,k+1]}$. A continuación, a partir de aquí no sé cómo proceder.

Mi objetivo es encontrar un candidato adecuado $f$ de manera tal que la secuencia converge a $f$ $f \in C^{\infty}(\mathbb{R})$

Answer 1

Me gustaría demostrar que es completa métrica en $C^\infty([-N,N])$ por cada $N\in \mathbb{N}$

Utilice el hecho de que en $[-N,N]$ la función de $f$ puede ser escritocomo $$ f(x) = P_K(x) + \int_0^x \frac{f^{(K+1)}(t)}{K!} (x-t)^K dt $$ para $K\geq N$. $P_K(x)$ primero se $K$ términos en serie de Taylor.

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para encontrar el candidato idóneo $f$: Vamos a $f_n$ secuencia de Cauchy en su métrica. Corregir algunos $K$. Ahora vamos a mostrar que el $f_n$ es de Cauchy en $C[-N,N]$, por lo tanto tiene un límite. $$ \|f_n-f_m\|_{[-N,N]} \leq \|P^n_N - P^m_N\|_{[-N,N]} + \left\|\int_0^x \frac{f_n^{(N+1)}(t)-f_m^{(N+1)}(t)}{N!} (x-t)^N dt \right\|_{[-N,N]}\leq $$ $$ \leq \|P^n_N - P^m_N\|_{[-N,N]} + \sup_{x\in[-N,N]}\int_0^x \frac{ \left\|f_n^{(N+1)}-f_m^{(N+1)} \right\|_{[0,x]}}{N!} x^N dt $$ $$ \leq \|P^n_N - P^m_N\|_{[-N,N]} + \left\|f_n^{(N+1)}-f_m^{(N+1)} \right\|_{[-N,N]} \frac{N^{N+1}}{N!} $$

$P^n_N$ contiene sólo los derivados(del orden de $1$$N$) $f_n$ cero. Su métrica es completa en $C^\infty[-1,1]$ $P^n_N$ es de Cauchy en $C[-N,N]$. A partir de la definición de métricas se sigue inmediatamente que $f^{(N+1)}$ es de cauchy en $C[-N,N]$. Por lo tanto, $f_n$ es de cauchy en $C[-N,N]$

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Para finalizar la prueba observar que si usted tiene $f_n$ cauchy en su métricas de $f^{(k)}_n$ es de cauchy en $C[-k-1,k+1]$.

Podemos reformular a $f^{(k)}_n$ es de cauchy en $C[-l-1,l+1]$ todos los $k\geq l$. Pero usted necesita demostrar que es de cauchy, así como para $k<l$. Anteriormente hice la prueba de $k=0$. La prueba es básicamente el mismo con el sólo uso de la primera fórmula no $f$ pero para $f^{(k)}$.