$ A_n $ = $[\frac{n}{n+1},\frac{n+1}{n+2}] $ ser subconjuntos cerrados buscar $\bigcup_{n=1}^\infty A_n $

Question

$ An =\frac{n}{n+1},\frac{n+1}{n+2}] $, $n=1,2,3...$ Sea subconjuntos cerrados de línea verdadera R. Entonces es $\bigcup{n=1}^\infty A_n $

1. (1/2,1)
2. [1/2,1)
3. (1/2,1]
4. [1/2,1]

Mi intento: creo que podría ser [1/2,1) desde $\lim \frac{n+1}{n+2}$ = 1. No estoy sureit es solo una guess.any consejos por favor.

Answer 1

$$\bigcup_{n=1}^{m}\left[\frac{n}{n+1}\,,\,\,\frac{n+1}{n+2}\right]=\left[\frac{1}{2}\,,\,\,\frac{m+1}{m+2}\right]$$

Tomar límite $m\rightarrow \infty$ tienes \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\left[\frac{1}{2}\,,\,\,1\right) $$ $$

Answer 2

Sugerencia: $f(x)=\frac{x}{x+1}$ Es Monótonamente creciente, tenemos que para cualquier $0\le x\lt1$, n $$ = \left\lfloor\frac {x} {x-1} \right\rfloor\iff n\le\frac {x} \lt {x-1} n +1\iff\frac {n} {n+1} \le x\lt\frac {n+1} {n +2} $$ por lo tanto, cualquier $\frac12\le x\lt1$, si $n=\left\lfloor\frac{x}{1-x}\right\rfloor$ y $n\ge1$ y $x\in\left[\frac{n}{n+1},\frac{n+1}{n+2}\right]$.

Además, tenga en cuenta que para todas las $n\ge0$, $\frac{n+1}{n+2}\lt1$ %.