Integración de la función de partición sobre muchas variables de momento

Question

Mi integral se parece a

$$Z(\beta) = \frac{1}{h^3}\int d^3p\ \exp{\left(-\frac{\beta}{2m}\sum^{3N}_{i=1}p_i^2\right)}.$$

Estoy confundido sobre cómo integrar sobre aparentemente 3N variables en sólo una integral de 3 dimensiones.

Answer 1

Es una integral de 3N dimensiones, pero se reduce a la N-ésima potencia de una integral de 3 dimensiones (y, en última instancia, a la 3N-ésima potencia de una integral de 1 dimensión), así que probablemente tengas una fuente descuidada.

$$Z = \int (\prod_i d^3p_i) e^{-\beta \sum_i {p_i^2\over 2m}} = \prod_i (\int e^{-\beta {p^2\over 2m}} d^3p) = I^N$$

Dónde

$$I = \int e^{-\beta {p^2\over 2m}} d^3 p$$

La integral I es realmente el producto de tres gaussianas independientes en $p_x$ , $p_y$ , $p_z$ , por lo que la respuesta es

$$I = ({\sqrt{m}\over \sqrt{2\pi \beta}})^3$$

Que es el cubo de la integral de cada gaussiana por separado. De modo que

$$Z= {m^{3N\over 2} \over (2\pi \beta)^{3N\over 2}}$$

y tomando el logaritmo se obtiene la energía libre del gas ideal:

$$\beta F = {3N\over 2}\log(T)$$

y puedes leer el calor específico del gas ideal a partir de esta fórmula ${3N\over 2}$ . Esto funciona para cualquier variable cuadrática en H, y esto es el teorema de equiparación.