Así, hay varias maneras estándar de la prueba de la irreductibilidad/reducibilidad de las representaciones sobre los campos donde la característica no divide $|G|$ tales como el teorema de Maschke, la forma normal de jordan, el uso de vectores propios, etc. Sin embargo, me preguntaba, ¿cómo afecta este cambio en un campo de $F$ de la característica que hace dividir $|G|$? ¿Hay algún ejemplo sencillo de cómo se enfoque esta? Como un ejemplo, ¿cómo se podía demostrar que la permutación representación del grupo de simetría $S_{3}$ no es completamente reducible sobre un campo $F$ de la característica 3?
Respuesta
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user56747
Puntos
1
Deje $V = k^3$ ser la permutación representación de $S_3$ y considerar la posibilidad de $M = k\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$. Este es un unidimensional subespacio invariante. Si $V$ es completamente reducible a continuación, hay algunos en dos dimensiones subespacio invariante $N$ tal que $V = N \oplus M$.
Asumir un $N$ existe y asumen $\left[\begin{smallmatrix} a \\ b \\ c \end{smallmatrix}\right]$ es un vector en $N$. Como $N$ es invariante puedo aplicar la permutación $(1 \ 2 \ 3)$ a esto y conseguir que el $\left[\begin{smallmatrix} c \\ a \\ b \end{smallmatrix}\right]$$N$. Del mismo modo $\left[\begin{smallmatrix} b \\ c \\ a \end{smallmatrix}\right]$$N$. Agregar todos juntos y tengo que $(a + b + c)\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]$$N$. Pero $N \cap M = 0$, por lo que debe ser ese $a + b + c = 0$.
El conjunto de vectores de satisfacciones $a + b + c = 0$ es un subespacio de dos dimensiones de $V$ y contiene $N$, por lo que debe ser igual a $N$. Pero también contiene $M$, y esto contradice la suposición de que $N \cap M = 0$.
