¿Por qué es 105 ciclotómicas polinomio interesante?

Question

Según Wikipedia el $105$th cyclotomic polinomio es interesante porque $105$ es el menor entero que es el producto de tres impares, números primos y este polinomio es el primer cyclotomic polinomio que tiene un coeficiente mayor que 1.

$$ \begin{align} \Phi_{105}(x) =\; & x^{48} + x^{47} + x^{46} - x^{43} - x^{42} - 2 x^{41} - x^{40} - x^{39} + x^{36} + x^{35} + x^{34} \\ + \;& x^{33} + x^{32} + x^{31} - x^{28} - x^{26} - \phantom{2}x^{24} - x^{22} - x^{20} + x^{17} + x^{16} + x^{15} \\ + \;& x^{14} + x^{13} + x^{12} - x^{9\phantom{8}} - x^{8\phantom{8}} - 2 x^{7\phantom{8}} - x^{6\phantom{8}} - x^{5\phantom{8}} + x^{2\phantom{8}} + x^{\phantom{16}} + 1 \end{align} $$

No veo por qué esta propiedad particular de este polinomio hace interesante, ¿alguien puede profundizar en esta interesante coincidencia?

Answer 1

Yo diría que es muy interesante, o al menos relevante saber que no todos los cyclotomic polinomios de coeficientes en $\{-1,0,1\}$, lo que uno puede ingenuamente creen que dada una lista de los primeros. Para dar el ejemplo, $105$ es, pues, interesante y relevante; si la frase exacta es óptimo para transmitir esta es una cuestión de estilo.

Para insistir en el hecho de que $105$ es un producto de tres impares, números primos, es también pertinente. Como lo sugiere el hecho de que los números que son producto de en la mayoría de los dos primeros poderes tienen coeficientes de $\pm 1, 0$ solamente. Y, también por $n= 2^k p^n q^m$ esto sigue siendo cierto. Sin embargo, no funciona para el primer ejemplo que viole estas condiciones.

Continuando a partir de ahí, hay varias preguntas que uno se puede preguntar, por ejemplo, uno podría intentar caracterizar los $n$ para que uno sólo tiene coeficientes de $\pm 1, 0$. Para este problema véase, por ejemplo, Cyclotomic polinomios con coeficientes de $0,\pm 1$ MO.