Existencia de secuencia no dividida

Question

Permita que$G$ sea un grupo abeliano tal que$G$ contenga elementos no nulos de orden finito.

¿Por qué existe una breve secuencia exacta no dividida?

$0 \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow H \rightarrow G \rightarrow 0$

para algún grupo abelian$H$?

Answer 1

Me gustaría más con una solución constructiva, pero esto funciona en configuración estándar: Si $x\in G$ es de orden $n$, ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}\hookrightarrow G$ través $\overline{1}\mapsto x$. Por la divisibilidad/inyectividad de ${\mathbb Q}/{\mathbb Z}$, la incrustación ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}\hookrightarrow {\mathbb Q}/{\mathbb Z}$, $\overline{1}\mapsto\overline{\tfrac{1}{n}}$ se extiende a una morfismos de abelian grupos $\varphi: G\to {\mathbb Q}/{\mathbb Z}$. Por otra parte, este morfismos no se levante a lo largo de la proyección ${\mathbb Q}\to{\mathbb Q}/{\mathbb Z}$ desde el elemento de torsión $g$ tiene que ser asignado a un elemento de torsión, y ${\mathbb Q}$ es de torsión libre. Por lo tanto, la retirada de la breve secuencia exacta $0\to {\mathbb Z}\to{\mathbb Q}\to{\mathbb Q}/{\mathbb Z}\to 0$ a lo largo de $\varphi$ da una secuencia exacta de la forma $0\to{\mathbb Z}\to H\to G\to 0$.

Answer 2

Por supuesto $G$ tiene un subgrupo $D$ que es no trivial y puede ser embebido en $\mathbb Q/\mathbb Z$. Por lema de Zorn, existe un máximo tal $D$. Entonces $D=Q/\mathbb Z$ $\mathbb Z<q aparente="" corta="" d="" da="" de="" debe="" decir="" directo="" divisi="" donde="" en="" es="" esta="" esto="" exacto="" forma="" g_1="" grupo="" la="" los="" mapas="" muestran="" no="" nos="" q="" que="" seqeunce="" ser="" son="" sumando="" un="" una="" y="" z=""></q>