Integración mediante cambio de variables y sustitución

Question

Sea $D$ sea la región delimitada por $x=0$ , $y=0$ , $x+y=1$ y $x+y=4$ . Evalúe $$\iint_D \frac{dx\,dy}{x+y}$$ realizando el cambio de variables $x=u-uv$ , $y=uv$

Mi intento
Entiendo que primero debo encontrar el dominio. $$x=u-uv, y=uv$$ $$x=u-y$$ $$u=x+y$$ y $$v=\frac{u}{y}$$ Esto me da el dominio $$ (x,y) \rightarrow(u,v) $$ $$ (0,1) \rightarrow(1,1) $$ $$ (1,0) \rightarrow(1,0) $$$$ (0,4) \rightarrow(4,1) $$ $$ (4,0) \rightarrow(4,0) $$ After i graph these points on the new $ (u,v) $ graph i get a box and so my limits are $$ 1 \le u \le 4 $$ $$ 0 \le v \le 1 $$ y ahora estoy teniendo problemas para encontrar el jacobiano ya que u es una función de v.
Cualquier ayuda sería estupenda.

Answer 1

Creo que la forma en que usted necesita para reorganizar esto es

$$x \ = \ u - uv \ = \ u \cdot (1-v) \ , \ y = uv \ \Rightarrow \ x = u - y \ \Rightarrow \ u = x + y $$

$$\Rightarrow \ y = (x + y) \cdot v \ \Rightarrow \ v = \frac{y}{x+y} \ . $$

Como esta transformación no invierte la orientación de la frontera, el jacobiano debería ser positivo.