Supremio de funciones continuas en $\mathbb{R}$

Question

Si $f(x)$ es una función continua en todo $\mathbb R$ con la propiedad de que $\sup_{x\in\mathbb R}|f(x)|\leq 1$ . Si este es el caso, ¿cómo puedo probar si el sup se alcanza o no? (es decir, si existe al menos $x_{o}\in \mathbb R$ tal que $|f(x_{o})|\geq |f(x)|, \forall x\in \mathbb R$ ).

¿Deberíamos tener algo como $\lim_{x\to\pm\infty}|f(x)|=0$ ¿o algo más?

Answer 1

Con $f(x)=1-e^{-x^2}$ podemos ver que el $\sup$ no se alcanza. Sin embargo, bajo la condición $\lim_{|x|\to +\infty}f(x)=0$ Se ha alcanzado. Dos casos: $f$ es idéntico $0$ (de ahí que sea obvio) o no. En este caso, $2s:=\sup_{x\in \Bbb R}|f(x)|>0$ . Puede encontrar $R$ de manera que si $|x|\geq R$ entonces $|f(x)|\leq s$ . Por lo tanto, por continuidad, el supremum se alcanza en algún lugar del compacto $[-R,R]$ .