Qué funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisfacen $$f\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{f(x)+f(y)}{2}$$ para todos $x,y \in \mathbb{R}$
Creo que los únicos son de tipo $f(x) = c$ para alguna constante $c\in \mathbb{R}$ y las soluciones de la ecuación funcional de Cauchy $f(x+y) = f(x)+f(y)$ y las sumas y múltiplos constantes de estas funciones. ¿Existen otras funciones que sean a la vez convexas y cóncavas en el punto medio?
Sin pérdida, traduce para que $f(0) = 0$ . Entonces tenemos
$$f(x) = f\left(\frac{2x + 0}{2}\right) = \frac{f(2x)}{2}$$
para que $f(2x) = 2 f(x)$ .
Supongamos ahora que $f$ es el punto medio convexo y cóncavo. Demostramos que satisface la ecuación de Cauchy:
$$f(x + y) = f\left(\frac{2x + 2y}{2}\right) = \frac{f(2x) + f(2y)}{2} = f(x) + f(y)$$ como se afirma. Ahora sólo recuerde que los múltiplos de las soluciones de la ecuación de Cauchy siguen siendo soluciones de la ecuación de Cauchy - por lo tanto, las funciones con su propiedad son exactamente traslados de las funciones que resuelven la ecuación de Cauchy.
"Las funciones con su propiedad son exactamente funciones que resuelven la ecuación de Cauchy" - Eso es falso: $f(x) = 1$ es una solución de la ecuación anterior pero no una solución de la ecuación de Cauchy. ¿Me he perdido algo?
@AndreiKh Sí, tienes mucha razón. Eso es una traducción de la función cero que hace resolver la ecuación de Cauchy.
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Aquí hay un post sobre continuo soluciones de la ecuación de Jensen: Cómo demostrar que $f$ es una línea recta si $f(\frac{x+y}{2})=\frac{f(x)+f(y)}{2}$ ?