demostrando que una forma cuadrática está cerrada

Question

Estoy tratando de demostrar que, dado un espectral de medida $d\mu_\psi(\lambda)$ para un auto-adjont operador $A$, de la siguiente forma cuadrática

$$q_\lambda(\psi)=\int_{\mathbb R}\chi_{(-\infty,\lambda]}(\tau) d\mu_\psi (\tau)$$

existe un operador $P(\lambda)$ tal forma que:

$$<\psi|P(\lambda)\psi>= q_\lambda(\psi)$$

En particular, $q_\lambda(\psi)$ está delimitada desde abajo y por lo que tengo sólo para demostrar que está cerrado.

Bueno, sé que en el fin de mostrar closedness que debo demostrar que el dominio de la forma cuadrática $Q$ es completa con respecto a la norma formulario

$$||\psi||_q= q_\lambda(\psi)+||\psi||_H$$ donde $H$ es nuestro genéricos espacio de Hilbert.

Tengo problemas para probar esto, ya elegido una secuencia de Cauchy en $H$, no puedo entender cómo $q_\lambda(\psi_n-\psi_m)$ se comporta.

Cualquier ayuda sería muy apppreciated!

Answer 1

Esta es una forma limitada:$0 \le q_{\lambda}(f) \le \|f\|^{2}$, independientemente de$\lambda$, y se define en todas partes en el espacio de Hilbert. Entonces, la norma de forma$q_{\lambda}(f)+\|f\|^{2}$ y la norma habitual son normas equivalentes.