En cualquier poset, la existencia de uniones arbitrarias es equivalente a la existencia de cumple arbitraria. ¿Pero, hay un principio general?

Question

Deje $K$ denotar la clase de todos los números cardinales. A continuación, un poset admite todas las combinaciones con cardinalidad en $K$ fib se admite que todos se reúne con la cardinalidad en $K$.

Pregunta. Para que otras clases de números cardinales $K$ no esta equivalencia?

Sé, por ejemplo, que si $K$ es reemplazado con el finito distinto de cero cardenales, la equivalencia se produce un error. Considere, por ejemplo, el poset $\{0,a,b\}$ $0 < a$ $0 < b.$

Pero, ¿qué sucede si $K$ es algo más? Así, todos los finita cardenales, incluyendo el cero? O lo si $K = \{0,1,2,\cdots\} \cup \{\aleph_0\}$?

¿Cuál es el principio general?

Answer 1

Voy a estar haciendo el estándar de la suposición de que si un poset tiene une a (resp. cumple) de conjuntos de cardinalidad $\kappa$, entonces también tiene une a (resp. cumple) de cualquier no-cero de cardinalidad menor que $\kappa$. Observe que $1$ puede ser añadido o eliminado de cualquier clase, sin alterar la propiedad, por lo que asumiremos $1\notin K$ por defecto. Se deduce por lo tanto que un conjunto de cardinalidades $K$ como arriba está totalmente determinado por los menos cardenal en ella y por ser ilimitada, o por los menos el límite superior de la misma. Vamos a mostrar que el si $K\ne \emptyset$ (que es un trivial posibilidad), a continuación, $0\in K$ $K$ es ilimitado, a partir de la cual va a seguir ese $K$ es la clase de todas las cardinalidades.

Deje $K\ne \emptyset$ ser tal clase de cardinalidades. Suponga $0\notin K$ y deje $\kappa\ne 1$ ser una cardinalidad en $K$. Deje $S$ ser un conjunto de cardinalidad $\kappa$ y deje $V=\mathcal P_*(S)$ ser el conjunto de todos los que no vacía de subconjuntos de a $S$. Claramente, $V$ tiene todas las combinaciones excepto el vacío unirse, por lo que tiene todas las combinaciones de cardinalidades de $K$. Pero, $V$ no tiene cumple de cardinalidad $\kappa$, ya que por ejemplo, el conjunto de todos los embarazos únicos de $S$ tiene cardinalidad $\kappa$, pero no se reúnen en $V$. Así, llegamos a la conclusión de que $0\in K$.

Suponga que $K$ está delimitado por algunos infinito cardenal $\kappa$. Deje $S$ ser un conjunto de cardinalidad $2^\kappa$ y considerar la posibilidad de $V=\mathcal P_\sharp(S)$, el conjunto de todos los subconjuntos de a $S$ de cardinalidad $\le \kappa$. Claramente, $V$ tiene todos los sindicatos de cardinalidad $\le \kappa$, y así todas las combinaciones de cardinalidades de $K$. Pero, $V$ no tiene vacíos se reúne desde $V$ claramente no contiene un elemento de la parte superior. Esto contradice $0\in K$ y por lo tanto llegamos a la conclusión de que $K$ es no acotada.

(realmente no es necesario, pero sólo para tomar el cuidado de los distintos sabor de la finitud de los cardenales, en caso de que usted fue otro argumento de por qué $K$ debe contener todos finito cardenales: Vamos a $\kappa$ ser el menos cardenal en $K-\{0,1\}$. Suponga $\kappa>2$. Pero, a continuación, deje $S$ ser un doubleton y $V=\mathcal P(S)-\{S\}$. A continuación, $V$ ha vacío une (la parte inferior del elemento) y (vacuously) todas las combinaciones de otros cardinalidades de $K$. Pero, $V$ no tiene vacíos se reúne de nuevo una contradicción. Por lo $2\in K$. Sin embargo, desde la reivindicación de "un poset ha binario se une a/cumple" es equivalente a "un poset tiene todos finito une/cumple", se sigue que todo finito no vacío cardenales están en $K$.)

Para concluir, la única clases posibles de tales cardinalidades son $\emptyset$, $\{1\}$, y la clase de todas las cardinalidades.

Espero que mi respuesta no incluye terriblemente redundante cosas porque realmente me encanta la pregunta.