Tal vez un aspecto de su dificultad con un objeto cogropoide es que estás familiarizado con las estructuras algebraicas habituales, como grupos y anillos, en los que las operaciones algebraicas se definen en todas partes. Sin embargo, las categorías y los grupos son buenos ejemplos de "estructuras algebraicas parciales". Mi definición de álgebra dimensional superior es que se trata del estudio de estructuras algebraicas parciales cuyas operaciones algebraicas se definen en condiciones geométricas. Así, la estructura geométrica subyacente de una categoría es un gráfico dirigido $s,t: C_1 \to C_0$ que también es reflexivo en el sentido de que se le da una función $e: C_0 \to C_1$ de tal manera que $se=te$ es la identidad en $C_0$ . Necesitas las funciones $s,t$ para decidir cuándo una multiplicación de $f,g \in C_1$ es posible: se define en la retirada de $s,t$ .
Una cocategoría, o cogroupoide, tiene de nuevo una cografía subyacente, es decir, funciones $s',t' :C_0 \to C_1$ pero ahora la comulgación es una función de $C_1$ a la expulsión de $s',t'$ . Para una introducción ver por ejemplo esta presentación por Nigel Ray. ''
Por lo tanto, una buena descripción del intervalo de unidades $I$ es que es un cogroupoide hasta la homotropía donde la homotropía se define usando la estructura de la cografía en $I$ .
Menciono que cuando empecé a usar los groupoids pensé que era genial poder deshacerme de los puntos de base; pero pronto me di cuenta de que lo que se necesitaba era un conjunto, digamos $A$ de puntos de base y así definir el grupo fundamental $ \pi_1 (X,A)$ en este set $A$ . Así que para el círculo $S^1$ es útil tener $2$ puntos de base. Ver también este flujo matemático pregunta .
Ya que te refieres a un grupo de homotropía superior, podrías encontrar este flujo de matemáticas pregunta relevante.
27 de diciembre: En respuesta a su pregunta en su comentario a continuación, usted debe descargar la Categorías y Groupoides y también comparar con mi libro Topología y Groupoides .
Los libros estándar no parecen gustar de los espacios no conectados, y no se permiten la siguiente construcción: dado un groupoide $G$ y una función $f: Ob(G) \to Y$ donde $Y$ es un conjunto, y luego formar un nuevo grupo $U_f(G)$ con el conjunto de objetos $Y$ y el morfismo $i: G \to U_f(G)$ teniendo una agradable propiedad universal. El punto es que hacer identificaciones en $Ob(G)$ permite composiciones de elementos de $G$ que antes no eran posibles. Así que el grupo $ \mathcal I$ tiene un morfismo $ \iota :0 \to 1$ pero cuando se identifica $0$ y $1$ se obtiene un nuevo morfismo $0 \to 0$ que puedes componer repetidamente. Esto corresponde a hacer identificaciones de puntos en un espacio. (¿Cómo se obtiene el círculo del intervalo de unidades $I$ ? Identificar $0$ y $1$ .)
Una prueba más formal utiliza las propiedades universales de $ \mathcal I$ y $ \mathbb Z$ en las categorías de grupúsculos y grupos, respectivamente.
Teniendo esta construcción $U_f$ permite una cuenta única que produce grupos libres, productos libres de grupos, y también la útil noción de grupo libre en un gráfico.
