Encontrar la suma de $\sum\limits_{k=1}^{2n} (-1)^{k} \cdot k^{2}$

Question

¿Cómo encontrar esta suma? $$\sum\limits_{k=1}^{2n} (-1)^{k} \cdot k^{2}$$

Answer 1

Sugerencia: ¿Qué es $(2i)^2-(2i-1)^2$? A continuación, ¿qué $\displaystyle\sum{i=1}^n1$ y $\displaystyle\sum{i=1}^ni$?

Answer 2

Como soy un fan de pruebas sin palabras, aquí está mi esfuerzo pictórico de por qué

$$\sum{k=1}^{2n} (-1)^k k^2 = \sum{i=1}^{2n} i = n(2n+1).$$

Answer 3

Trate de trabajar con la secuencia $S_n=\sum_1^{2n}(-1)^kk^2$. Si nos fijamos en la secuencia de las diferencias (sidrat hefreshim en hebreo, no estoy seguro de que la traducción correcta. cualquier altavoz hebreo - por favor corregirme aquí) de $An=S{n+1}-S_n$ podrá obtener un primer grado fórmula $A_n$.

Ahora - aviso que $S_n-S_1=\sum_1^{n-1}A_n$ y puesto que $S_1$ es fácil de calcular y $\sum A_n$ no es de difícil-esto le dará la solución.

¡Buena suerte!

Answer 4

Lo siento, estoy en un poco de prisa, pero debería ser esta secuencia.

Para ver esto, solo comentar que están resumiendo diferencia de cuadrados consecutivos (-1 +4) + (-9 +16) +..., y estas diferencias son los enteros impares son congruentes a 3 mod 4 (es decir, 3, 7, 11...).

Answer 5

Otra manera (aunque no es tan sencillo que ya se ha sugerido) es escribir como $$-\sum{k=1}^{2n} k^2 + 2 \sum{m=1}^{n} (2m)^2$ $ y usar la fórmula conocida para una suma de cuadrados.