Caracterizar los conjuntos incontables en los que existe una métrica que hace que el espacio sea conexo

Question

Para qué conjuntos incontables $X$ ¿es cierto que existe una métrica $d$ en $X$ tal que $(X,d)$ ¿está conectado?

[ La motivación de esta pregunta es : Quería caracterizar la función $f : X \to X$ tal que para cualquier topología $\tau_1,\tau_2$ en $X$ , $f:(X,\tau_1)\to (X,\tau_2)$ es continua ; me he dado cuenta de que tomando la topología discreta en el codominio y la topología indiscreta en el dominio , ya que todo singleton es abierto en la topología discreta y con la topología indiscreta $X$ está conectada, por lo que tal $f$ debe ser constante ; entonces me di cuenta de que si sólo requería $f$ sea continua respecto a dos topologías métricas cualesquiera, entonces obtendría la misma conclusión que $f$ es constante , dado que existe una métrica que hace $X$ conectado ]

Answer 1

Es cierto precisamente para los conjuntos $X$ tal que $|X|\ge 2^\omega=\mathfrak{c}$ . Esta respuesta muestra que la condición es necesaria. Para ver que es suficiente, dejemos que $\kappa=|X|\ge 2^\omega$ y arreglar $p\in X$ . Desde $\kappa=2^\omega\cdot\kappa$ hay una partición $\{Y_\xi:\xi<\kappa\}$ de $X\setminus\{p\}$ en $\kappa$ conjuntos de cardinalidad $2^\omega$ . Para $\xi<\kappa$ dejar $X_\xi=\{p\}\cup Y_\xi$ y que $f_\xi:X_\xi\to[0,1]$ sea cualquier biyección tal que $f_\xi(p)=0$ . Ahora defina una métrica $d$ en $X$ como sigue: para cualquier $x,y\in X$ ,

$$d(x,y)=\begin{cases} |f_\xi(x)-f_\xi(y)|,&\text{if }x,y\in X_\xi\\ f_\xi(x)+f_\eta(y),&\text{if }x\in X_\xi,\,y\in X_\eta,\text{ and }\xi\ne\eta\;. \end{cases}$$

Es un ejercicio sencillo verificar que $d$ es una métrica. De hecho $\langle X,d\rangle$ es el erizo de espinacas $\kappa$ . Como cada columna vertebral $X_\xi$ está conectado, siendo una copia de $[0,1]$ y todas las espinas tienen la punta $p$ en común, $X$ está claramente conectada.